ADIÇÃO DE VETORES

  • A soma de dois vetores \vec{P} e \vec{Q} é obtida aplicando-se os dois vetores no mesmo ponto A e construindo-se o paralelogramo, usando \vec{P} e \vec{Q} como dois lados do paralelogramo.
  • A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores \vec{P} e \vec{Q}, e essa soma é representada por \vec{P}+\vec{Q}

Passo 1

O enunciado dado descreve a regra geométrica da soma de vetores pelo paralelogramo: colocar os vetores \vec{P} e \vec{Q} com a mesma origem A, construir o paralelogramo e tomar a diagonal que parte de A como \vec{P}+\vec{Q}.
O que vamos fazer aqui (objetivos claros):
  • Entender passo a passo o que significa essa construção geométrica.
  • Aprender a calcular a soma de vetores de forma prática (geometricamente e por componentes).
  • Ver na prática um exemplo numérico completo, explicado para que você consiga repetir na prova sem sufoco.
Informações que temos (retiradas do enunciado):
  • A soma geométrica é obtida pelo paralelogramo com lados \vec{P} e \vec{Q}.
  • A diagonal do paralelogramo que parte de A representa \vec{P}+\vec{Q}.

Passo 2

O que é um vetor e como representá‑lo em componentes (explicação didática).
  • Um vetor em duas dimensões representa uma quantidade com direção, sentido e módulo (comprimento). Escrevemos geralmente \vec{P}.
  • Em coordenadas cartesianas representamos \vec{P} por suas componentes horizontais e verticais: \vec{P}=(P_x,P_y). Aqui:
    • P_x é a projeção de \vec{P} no eixo x (valor positivo se aponta para a direita, negativo para a esquerda).
    • P_y é a projeção de \vec{P} no eixo y (positivo para cima, negativo para baixo).
  • Por que usar componentes? Porque a soma geométrica pelo paralelogramo é equivalente à soma componente a componente, que é muito mais rápida em cálculos de prova.

Passo 3

Construção geométrica: paralelogramo e método ponta‑com‑cauda (passo a passo).
  • Paralelogramo:
    1. Coloca ambos os vetores \vec{P} e \vec{Q} com a mesma origem A.
    2. Completa o paralelogramo traçando um lado igual a \vec{P} a partir da extremidade de \vec{Q} e um lado igual a \vec{Q} a partir da extremidade de \vec{P}.
    3. A diagonal que sai de A é \vec{P}+\vec{Q}.
  • Método ponta‑com‑cauda (mais usado na prática):
    1. Coloca a cauda de \vec{Q} na ponta (extremidade) de \vec{P}.
    2. A reta que vai da cauda de \vec{P} até a ponta de \vec{Q} é \vec{P}+\vec{Q}.
      Esses dois métodos dão o mesmo vetor soma — são equivalentes geometricamente.

Passo 4

Regra algébrica (a que você deve dominar para prova): soma por componentes.
  • Se \vec{P}=(P_x,P_y) e \vec{Q}=(Q_x,Q_y), então
\vec{P}+\vec{Q}=(P_x+Q_x,\;P_y+Q_y).
  • Explicando a fórmula: a componente x do vetor soma é a soma das componentes x dos vetores originais; idem para y. Isso vem direto da decomposição em eixos ortogonais e do paralelogramo projetado em cada eixo.
  • Como extrair P_x,P_y quando se conhece apenas o módulo e a direção: se \vec{P} tem módulo P e faz ângulo \theta_P com o eixo x medido no sentido anti‑horário, então
P_x = P\cos\theta_P,\qquad P_y = P\sin\theta_P.
O mesmo vale para \vec{Q}.

Passo 5

Observações práticas sobre sinais e quadrantes (coisa que cai em prova):
  • Se o ângulo aponta para o 2.º quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ), então \cos é negativo e \sin é positivo — logo P_x<0 e P_y>0.
  • Sempre desenhe rápido um esboço: facilita identificar os sinais de P_x e P_y.
  • Em prova, ao receber módulos e ângulos, calcule as componentes com seno e cosseno, some componente a componente e depois recalcule módulo e ângulo se pedirem.

Passo 6

Exemplo completo e bem escolhido (para praticar sem calculadora):
Tomemos um exemplo com valores que geram trigonometria exata:
  • Seja \vec{P} com módulo 5 e ângulo \theta_P=30^\circ (medido a partir do eixo x).
  • Seja \vec{Q} com módulo 7 e ângulo \theta_Q=120^\circ.
Primeiro, calculamos as componentes usando valores trigonométricos conhecidos:
  • Sabendo que \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}, temos
P_x = 5\cos30^\circ = 5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}, \qquad P_y = 5\sin30^\circ = 5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}.
  • Sabendo que \cos120^\circ=-\dfrac{1}{2} e \sin120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
Q_x = 7\cos120^\circ = 7\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{7}{2}, \qquad Q_y = 7\sin120^\circ = 7\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Somando componente a componente (mostrando as contas passo a passo):
  • Soma das componentes x:
(\vec{P}+\vec{Q})_x = P_x+Q_x = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - \dfrac{7}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}-7}{2}.
  • Soma das componentes y:
(\vec{P}+\vec{Q})_y = P_y+Q_y = \dfrac{5}{2} + \dfrac{7\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5+7\sqrt{3}}{2}.
Logo a soma em forma de componente é
\vec{P}+\vec{Q}=\left(\dfrac{5\sqrt{3}-7}{2},\;\dfrac{5+7\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 8

Calcular o módulo e a direção do vetor soma (continuação do exemplo, com simplificação algébrica):
  • Módulo: \displaystyle \|\vec{P}+\vec{Q}\|=\sqrt{(\text{soma}_x)^2+(\text{soma}_y)^2}.
    Calculando (\text{soma}_x)^2+(\text{soma}_y)^2 com cuidado:
\left(\dfrac{5\sqrt{3}-7}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5+7\sqrt{3}}{2}\right)^2 =\dfrac{(5\sqrt{3}-7)^2+(5+7\sqrt{3})^2}{4}.
Agora expandimos os quadrados (fazendo as contas passo a passo):
(5\sqrt{3}-7)^2 = 25\cdot 3 -70\sqrt{3} +49 = 124 -70\sqrt{3},
(5+7\sqrt{3})^2 = 25 +70\sqrt{3} +147 = 172 +70\sqrt{3}.
Somando os dois resultados cancelam os termos com \sqrt{3}:
(5\sqrt{3}-7)^2+(5+7\sqrt{3})^2 = (124 -70\sqrt{3})+(172 +70\sqrt{3}) = 296.
Portanto
\|\vec{P}+\vec{Q}\| = \sqrt{\dfrac{296}{4}} = \sqrt{74}.
  • Direção (ângulo \theta medido a partir do eixo x):
\tan\theta = \dfrac{(\vec{P}+\vec{Q})_y}{(\vec{P}+\vec{Q})_x} = \dfrac{\dfrac{5+7\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{5\sqrt{3}-7}{2}} = \dfrac{5+7\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-7}.
Ambas as componentes do soma são positivas (observe 5\sqrt{3}\approx8{,}66>7 e 5+7\sqrt{3}>0), então \theta está no 1.º quadrante e
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{5+7\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-7}\right).

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (resumo prático e motivador):
  • Se te derem componentes, some componente a componente — isso é tiro‑certo.
  • Se te derem módulos e ângulos, converte para componentes com P\cos, P\sin, some e depois volte para módulo/ângulo se pedirem.
  • Sempre faça um esboço rápido para checar sinais: evita erros bobos.
  • Treine com ângulos notáveis ( 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ,120^\circ, etc.) para poder fazer contas exatas sem calculadora. Você consegue — eu já passei por esse desespero e dá pra dominar!

Resposta

\displaystyle \vec{P}+\vec{Q}=\left(\dfrac{5\sqrt{3}-7}{2},\;\dfrac{5+7\sqrt{3}}{2}\right)
\displaystyle \|\vec{P}+\vec{Q}\|=\sqrt{74}
\displaystyle \theta=\arctan\!\left(\dfrac{5+7\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-7}\right)

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