11- Vamos considerar que as provas dadas para a turma de Estatística Descritiva tenham pesos diferentes, sendo que as provas 1 , 2 e 3 têm o peso 2 , 4 e 4 respectivamente. Sabemos que para ser aprovado os alunos têm que tirar média 6 . Ana tirou as notas 9,6 e 4 , respectivamente, nas três provas. Utilizando média ponderada responda:
a) A aluna em questão foi aprovada?
b) O professor notou que os alunos foram melhores na segunda prova e colocou o peso dela igual a 5. Neste caso, qual será a nota de Ana?
a) A aluna em questão foi aprovada?
b) O professor notou que os alunos foram melhores na segunda prova e colocou o peso dela igual a 5. Neste caso, qual será a nota de Ana?
Passo 1
O enunciado dá as três notas de Ana e os pesos das provas, e pede duas coisas:
- Notas das provas:
(respectivamente prova 1, prova 2 e prova 3). - Pesos iniciais das provas:
(respectivamente para prova 1, 2 e 3). - Critério de aprovação: média final deve ser
.
Perguntas:
a) A aluna foi aprovada com os pesos originais?
b) Se o professor alterar o peso da prova 2 para(mantendo os outros pesos), qual será a nova média de Ana?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): média ponderada.
- Quando as observações têm importância diferente, calculamos a média usando pesos. A fórmula geral é:
onde:
-
é a nota (ou valor) da i‑ésima observação, -
é o peso associado a , - o numerador
é a soma dos produtos “peso vezes nota”, - o denominador
é a soma dos pesos (é como “quantas partes” ao todo).
Exemplo rápido para fixar: se tenho duas notase com pesos e , a média ponderada é
Repare que a nota com peso maior puxa a média mais para perto dela.
Passo 3
Aplicando a fórmula para as informações iniciais (parte a).
- Notas:
. - Pesos:
.
Calculamos o numerador (soma dos produtos):
Calculando passo a passo:
Somando:
O denominador (soma dos pesos) é
Portanto a média ponderada é
Passo 4
Comparação com o critério de aprovação:
- Critério: média
. - Obtivemos
.
Conclusão: com os pesos originais, Ana não atingiu a média necessária (), logo não foi aprovada.
Passo 5
Agora parte (b): o professor altera o peso da prova 2 para
.
- Novos pesos:
.
Repetimos a conta do numerador:
Calculando cada produto:
Somando:
Denominador (soma dos pesos) é
Portanto a nova média é
Se quiser um valor decimal aproximado:
ou seja, aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação final da parte (b):
- A nova média de Ana é
. - Mesmo com o aumento do peso da prova 2, a média ainda fica abaixo de
, portanto ela continuaria não aprovada (apenas para saber, embora a pergunta tenha pedido só a nota).
Resposta
a) Não — média ponderada
.
b)
b)