11- Vamos considerar que as provas dadas para a turma de Estatística Descritiva tenham pesos diferentes, sendo que as provas 1 , 2 e 3 têm o peso 2 , 4 e 4 respectivamente. Sabemos que para ser aprovado os alunos têm que tirar média 6 . Ana tirou as notas 9,6 e 4 , respectivamente, nas três provas. Utilizando média ponderada responda:
a) A aluna em questão foi aprovada?
b) O professor notou que os alunos foram melhores na segunda prova e colocou o peso dela igual a 5. Neste caso, qual será a nota de Ana?

Passo 1

O enunciado dá as três notas de Ana e os pesos das provas, e pede duas coisas:
  • Notas das provas: \;9,\;6,\;4\; (respectivamente prova 1, prova 2 e prova 3).
  • Pesos iniciais das provas: \;2,\;4,\;4\; (respectivamente para prova 1, 2 e 3).
  • Critério de aprovação: média final deve ser \ge 6.
    Perguntas:
    a) A aluna foi aprovada com os pesos originais?
    b) Se o professor alterar o peso da prova 2 para \;5\; (mantendo os outros pesos), qual será a nova média de Ana?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): média ponderada.
  • Quando as observações têm importância diferente, calculamos a média usando pesos. A fórmula geral é:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i}
onde:
  • x_i é a nota (ou valor) da i‑ésima observação,
  • w_i é o peso associado a x_i,
  • o numerador \sum_i w_i x_i é a soma dos produtos “peso vezes nota”,
  • o denominador \sum_i w_i é a soma dos pesos (é como “quantas partes” ao todo).
    Exemplo rápido para fixar: se tenho duas notas \;5 e \;7 com pesos \;1 e \;3, a média ponderada é
\bar{x}=\frac{1\cdot 5 + 3\cdot 7}{1+3}=\frac{5+21}{4}=\frac{26}{4}=6,5.
Repare que a nota com peso maior puxa a média mais para perto dela.

Passo 3

Aplicando a fórmula para as informações iniciais (parte a).
  • Notas: \;x_1=9,\;x_2=6,\;x_3=4.
  • Pesos: \;w_1=2,\;w_2=4,\;w_3=4.
    Calculamos o numerador (soma dos produtos):
\sum_i w_i x_i = 2\cdot 9 + 4\cdot 6 + 4\cdot 4.
Calculando passo a passo:
2\cdot 9 = 18,\qquad 4\cdot 6 = 24,\qquad 4\cdot 4 = 16.
Somando:
18 + 24 + 16 = 58.
O denominador (soma dos pesos) é
\sum_i w_i = 2 + 4 + 4 = 10.
Portanto a média ponderada é
\bar{x}=\frac{58}{10}=5,8.

Passo 4

Comparação com o critério de aprovação:
  • Critério: média \ge 6.
  • Obtivemos \bar{x}=5,8.
    Conclusão: com os pesos originais, Ana não atingiu a média necessária ( 5,8<6), logo não foi aprovada.

Passo 5

Agora parte (b): o professor altera o peso da prova 2 para \;5.
  • Novos pesos: \;w_1=2,\;w_2=5,\;w_3=4.
    Repetimos a conta do numerador:
\sum_i w_i x_i = 2\cdot 9 + 5\cdot 6 + 4\cdot 4.
Calculando cada produto:
2\cdot 9 = 18,\qquad 5\cdot 6 = 30,\qquad 4\cdot 4 = 16.
Somando:
18 + 30 + 16 = 64.
Denominador (soma dos pesos) é
\sum_i w_i = 2 + 5 + 4 = 11.
Portanto a nova média é
\bar{x}=\frac{64}{11}.
Se quiser um valor decimal aproximado:
\frac{64}{11}\approx 5,818\ldots
ou seja, aproximadamente \;5,818.

Passo 6

Interpretação final da parte (b):
  • A nova média de Ana é \frac{64}{11}\approx 5,818.
  • Mesmo com o aumento do peso da prova 2, a média ainda fica abaixo de \;6, portanto ela continuaria não aprovada (apenas para saber, embora a pergunta tenha pedido só a nota).

Resposta

a) Não — média ponderada 5,8.
b) \dfrac{64}{11}\approx 5,818\ldots

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