6.110. A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada. Se um momento fletor
for aplicado a
relação ao eixo
, determine a tensão desenvolvida na tábua no canto
. Compare essa tensãocom a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo
. Qual é o ângulo para o eixo neutro quando
? Comentário: Normalmente, as tábuas do assoalho seriam pregadas à parte superior da viga de modo que
e a alta tensão devida a um mau alinhamento eventual não ocorreria.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Determinar a tensão desenvolvida na tábua no canto
quando um momento é aplicado com em relação ao eixo . - Comparar essa tensão com a tensão desenvolvida quando o mesmo momento é aplicado ao longo do eixo
(ou seja, ). - Determinar o ângulo do eixo neutro quando
.
Informações relevantes (peguei esses números da imagem fornecida):
- Espessura (largura no sentido
): . - Altura (no sentido
): . - Momento aplicado:
. - Ângulo do momento com o eixo
: . - Ponto
é o canto superior da face frontal: coordenadas relativas ao centro do retângulo (centro na origem) são e .
Passo 2
Definir claramente o sistema de coordenadas e como a tensão de flexão é calculada:
- Eixo do feixe ao longo de
. Plano da seção transverse é o plano - . - Para momentos em torno dos eixos da seção, a tensão normal de flexão em um ponto da seção é, em geral,
onde:
-
é a tensão normal (positiva em tração, negativa em compressão) ao longo do eixo ; -
é o componente do momento em torno do eixo (causa curvatura em ); -
é o componente do momento em torno do eixo (causa curvatura em ); -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo (ou seja, ); -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo (ou seja, ); -
e são as coordenadas do ponto considerado relativas ao centroide.
Explicação didática rápida: cada componente de momento produz um “campo” de tensões que varia linearmente com a coordenada perpendicular ao eixo do momento. Quando há dois componentes (como aqui, porque o momento está inclinado), as tensões se somam (superposição linear).
Passo 3
Calcular os momentos de inércia da seção retangular (fórmulas padrão):
- Para um retângulo de base
(no sentido ) e altura (no sentido ):
Substituindo
e
:
Comentário didático: note que
é muito maior que
porque
cresce com o cubo da dimensão perpendicular àquele eixo; aqui a seção é muito mais alta que larga, então a rigidez à flexão em torno de
(curvatura em
) é bem maior.
Passo 4
Decompor o momento inclinado em componentes em torno de
e
:
- Como o momento forma
com o eixo , assumimos que a componente em é e em é .
Calculemos numericamente (usando):
Comentário didático: mesmo com um pequeno ângulo de
, surge um componente em torno de
não nulo; porém
é bem menor que
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da tensão no canto
(
,
):
Agora vamos calcular cada termo separadamente para ficar bem claro (faça isso passo a passo na prova para evitar erros).
Termo devido a
:
(essa contribuição é pequena, cerca de
).
Termo devido a
:
(Essa é a contribuição dominante.)
Somando com sinal (ambos contribuem para compressão no canto
com as convenções adotadas):
Interpretação: tensão de compressão aproximadamente
no canto
quando
.
Passo 6
Calcular a tensão quando o momento está perfeitamente ao longo do eixo
(
, logo
e
):
Comentário: este é o caso “ideal” (momento puramente em torno de
) e dá
.
Passo 7
Comparação percentual (aumento devido ao desalinhamento de
):
Ou seja, um desalinhamento de
aumenta a magnitude da tensão no canto
em cerca de
.
Passo 8
Determinar o ângulo do eixo neutro quando
.
Derivação didática: o eixo neutro na seção é a linha onde
. Da equação
segue
Se quisermos o ângulo entre o eixo neutro e o eixo
(isto é, quanto o eixo neutro gira a partir de
), é mais prático tomar a tangente do ângulo pequeno
= (desvio do eixo neutro em relação a
):
Tomando o módulo e usando valores numéricos:
Porque
, então
.
Calcule numericamente:
Portanto
Interpretação: o eixo neutro fica praticamente alinhado com o eixo
, desviando apenas cerca de
do
por causa do pequeno componente
. (O sinal apenas indica para que lado ele gira; o valor absoluto indica a pequena magnitude da rotação.)
Resposta
Tensão no canto
com
.
Tensão no canto com
.
Ângulo do eixo neutro quando .
Tensão no canto
Ângulo do eixo neutro quando