6.110. A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada. Se um momento fletor M=1,2 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} for aplicado a 3^{\circ} \mathrm{em} relação ao eixo z, determine a tensão desenvolvida na tábua no canto A. Compare essa tensãocom a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo z\left(\theta=0^{\circ}\right). Qual é o ângulo para o eixo neutro quando \theta=3^{\circ} ? Comentário: Normalmente, as tábuas do assoalho seriam pregadas à parte superior da viga de modo que \theta \approx 0^{\circ} e a alta tensão devida a um mau alinhamento eventual não ocorreria.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Determinar a tensão desenvolvida na tábua no canto A quando um momento M=1,2\\ \text{kN}\cdot\text{m} é aplicado com \theta=3^\circ em relação ao eixo z.
  • Comparar essa tensão com a tensão desenvolvida quando o mesmo momento é aplicado ao longo do eixo z (ou seja, \theta=0^\circ).
  • Determinar o ângulo do eixo neutro quando \theta=3^\circ.
Informações relevantes (peguei esses números da imagem fornecida):
  • Espessura (largura no sentido y): b=50\\ \text{mm}=0,05\\ \text{m}.
  • Altura (no sentido z): h=150\\ \text{mm}=0,15\\ \text{m}.
  • Momento aplicado: M=1,2\\ \text{kN}\cdot\text{m}=1200\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Ângulo do momento com o eixo z: \theta=3^\circ.
  • Ponto A é o canto superior da face frontal: coordenadas relativas ao centro do retângulo (centro na origem) são y=+b/2=+0,025\\ \text{m} e z=+h/2=+0,075\\ \text{m}.

Passo 2

Definir claramente o sistema de coordenadas e como a tensão de flexão é calculada:
  • Eixo do feixe ao longo de x. Plano da seção transverse é o plano y- z.
  • Para momentos em torno dos eixos da seção, a tensão normal de flexão em um ponto da seção é, em geral,
\sigma_x = -\frac{M_y\,z}{I_y}\;-\;\frac{M_z\,y}{I_z},
onde:
  • \sigma_x é a tensão normal (positiva em tração, negativa em compressão) ao longo do eixo x;
  • M_y é o componente do momento em torno do eixo y (causa curvatura em z);
  • M_z é o componente do momento em torno do eixo z (causa curvatura em y);
  • I_y é o momento de inércia da seção em relação ao eixo y (ou seja, \int z^2 dA);
  • I_z é o momento de inércia da seção em relação ao eixo z (ou seja, \int y^2 dA);
  • y e z são as coordenadas do ponto considerado relativas ao centroide.
Explicação didática rápida: cada componente de momento produz um “campo” de tensões que varia linearmente com a coordenada perpendicular ao eixo do momento. Quando há dois componentes (como aqui, porque o momento está inclinado), as tensões se somam (superposição linear).

Passo 3

Calcular os momentos de inércia da seção retangular (fórmulas padrão):
  • Para um retângulo de base b (no sentido y) e altura h (no sentido z):
I_y=\frac{b\,h^3}{12},\qquad I_z=\frac{h\,b^3}{12}.
Substituindo b=0,05\\ \text{m} e h=0,15\\ \text{m}:
I_y=\frac{0,05\cdot(0,15)^3}{12}=\frac{0,05\cdot0,003375}{12}=1,40625\times10^{-5}\\ \text{m}^4,
I_z=\frac{0,15\cdot(0,05)^3}{12}=\frac{0,15\cdot0,000125}{12}=1,5625\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
Comentário didático: note que I_y é muito maior que I_z porque I cresce com o cubo da dimensão perpendicular àquele eixo; aqui a seção é muito mais alta que larga, então a rigidez à flexão em torno de y (curvatura em z) é bem maior.

Passo 4

Decompor o momento inclinado em componentes em torno de y e z:
  • Como o momento forma \theta=3^\circ com o eixo z, assumimos que a componente em z é M_z=M\cos\theta e em y é M_y=M\sin\theta.
    Calculemos numericamente (usando M=1200\\ \text{N}\cdot\text{m}):
M_z=1200\cos3^\circ \approx 1200\cdot0,9986295 = 1198,36\\ \text{N}\cdot\text{m},
M_y=1200\sin3^\circ \approx 1200\cdot0,05233596 = 62,80\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário didático: mesmo com um pequeno ângulo de 3^\circ, surge um componente em torno de y não nulo; porém M_y é bem menor que M_z.

Passo 5

Aplicar a fórmula da tensão no canto A ( y=+0,025\\ \text{m}, z=+0,075\\ \text{m}):
\sigma_A = -\frac{M_y\,z}{I_y} - \frac{M_z\,y}{I_z}.
Agora vamos calcular cada termo separadamente para ficar bem claro (faça isso passo a passo na prova para evitar erros).
Termo devido a M_y:
\frac{M_y\,z}{I_y}=\frac{62,803\cdot0,075}{1,40625\times10^{-5}} \approx 0,335\\ \text{MPa}.
(essa contribuição é pequena, cerca de 0,335\\ \text{MPa}).
Termo devido a M_z:
\frac{M_z\,y}{I_z}=\frac{1198,36\cdot0,025}{1,5625\times10^{-6}} \approx 19,174\\ \text{MPa}.
(Essa é a contribuição dominante.)
Somando com sinal (ambos contribuem para compressão no canto A com as convenções adotadas):
\sigma_A \approx -(0,335+19,174)\\ \text{MPa} = -19,509\\ \text{MPa}.
Interpretação: tensão de compressão aproximadamente -19,51\\ \text{MPa} no canto A quando \theta=3^\circ.

Passo 6

Calcular a tensão quando o momento está perfeitamente ao longo do eixo z ( \theta=0^\circ, logo M_y=0 e M_z=1200\\ \text{N}\cdot\text{m}):
\sigma_{A,\theta=0} = -\frac{M_z\,y}{I_z} = -\frac{1200\cdot0,025}{1,5625\times10^{-6}} = -19,200\\ \text{MPa}.
Comentário: este é o caso “ideal” (momento puramente em torno de z) e dá -19,20\\ \text{MPa}.

Passo 7

Comparação percentual (aumento devido ao desalinhamento de 3^\circ):
\text{Aumento relativo}=\frac{|\sigma_A|-|\sigma_{A,\theta=0}|}{|\sigma_{A,\theta=0}|} =\frac{19,509-19,200}{19,200}\approx0,0161\approx1,61\%.
Ou seja, um desalinhamento de 3^\circ aumenta a magnitude da tensão no canto A em cerca de 1,6\%.

Passo 8

Determinar o ângulo do eixo neutro quando \theta=3^\circ.
Derivação didática: o eixo neutro na seção é a linha onde \sigma_x=0. Da equação
-\frac{M_y\,z}{I_y}-\frac{M_z\,y}{I_z}=0
segue
\frac{z}{y}=-\frac{M_z\,I_y}{M_y\,I_z}.
Se quisermos o ângulo entre o eixo neutro e o eixo z (isto é, quanto o eixo neutro gira a partir de z), é mais prático tomar a tangente do ângulo pequeno \psi = (desvio do eixo neutro em relação a z):
\tan\psi=\frac{y}{z}=-\frac{M_y\,I_z}{M_z\,I_y}.
Tomando o módulo e usando valores numéricos:
\left|\tan\psi\right|=\frac{M_y}{M_z}\cdot\frac{I_z}{I_y}=\tan3^\circ\cdot\frac{1}{9}.
Porque I_y/I_z=(h/b)^2=(0,15/0,05)^2=9, então I_z/I_y=1/9.
Calcule numericamente:
\tan\psi \approx \tan3^\circ\cdot\frac{1}{9}\approx 0,05241\cdot\frac{1}{9}=0,005823.
Portanto
\psi=\arctan(0,005823)\approx 0,334^\circ.
Interpretação: o eixo neutro fica praticamente alinhado com o eixo z, desviando apenas cerca de 0,334^\circ do z por causa do pequeno componente M_y. (O sinal apenas indica para que lado ele gira; o valor absoluto indica a pequena magnitude da rotação.)

Resposta

Tensão no canto A com \theta=3^\circ:\; \sigma_A \approx -19,51\\ \text{MPa}.
Tensão no canto A com \theta=0^\circ:\; \sigma_{A,\theta=0} = -19,20\\ \text{MPa}.
Ângulo do eixo neutro quando \theta=3^\circ:\; \psi \approx 0,334^\circ.

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