6.120. A viga composta é feita de alumínio 6061-T6 (
) e latão vermelho C83400 (B). Se a altura
, determine o momento máximo que pode ser aplicado à viga se a tensão de flexão admissível para o alumínio for
MPa e para o latão
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números da figura fornecida):
- Pedem: determinar o momento fletor máximo que pode ser aplicado à viga composta sem que a tensão de flexão em cada material ultrapasse sua tensão admissível.
- Dados extraídos da figura e do enunciado:
- largura da seção (largura no plano):
. - altura total da seção:
. - espessura da camada
(parte superior): . - portanto espessura da camada
(parte inferior): . - tensão admissível do alumínio (material
): . - tensão admissível do latão (material
): .
- largura da seção (largura no plano):
Além disso precisamos dos módulos de elasticidade típicos dos materiais para fazer a análise elástica composta. Vou usar valores usualmente adotados:
- módulo do alumínio 6061-T6:
. - módulo do latão vermelho C83400 (aprox.):
.
Observação: os módulos
são necessários porque, em uma viga composta, a curvatura é a mesma para todos os materiais e a tensão em cada fibra depende de
. Não foi fornecido
no enunciado, então uso valores usuais (se o professor exigir valores diferentes, basta substituir e refazer os cálculos).
Passo 2
Estratégia e fórmulas fundamentais (explicação didática).
Quando a viga está submetida a um momento fletor
, ela adquire uma curvatura
. Para uma seção composta a curvatura é dada por
onde
são os contribuições das partes (cada material) à rigidez flexional total da seção (unidade:
em
,
em
, então
tem unidade
).
A tensão em uma fibra numa distância
(medida a partir do eixo neutro) num material
é
Portanto, para cada material o momento máximo permitido por sua tensão admissível
é
onde
é a distância do eixo neutro até a fibra mais crítica desse material (extremo superior ou inferior conforme o caso). O momento admissível da viga será o menor entre os
(o que aparece primeiro como limite).
Para aplicar isso precisamos:
- localizar o eixo neutro da seção composta (usando
-ponderação dos centroides), - calcular os
de cada camada em relação ao eixo neutro (uso da fórmula do retângulo + eixo paralelo), - calcular
, - aplicar as fórmulas acima para cada material e comparar.
Vou explicar passo a passo cada cálculo numérico.
Passo 3
Dados geométricos e áreas das camadas; posições dos centroides (tudo em mm e MPa).
- largura
. - espessura da camada
: . - espessura da camada
: . - áreas:
- posições dos centroides medidas a partir da face inferior (origem
na face inferior):
Passo 4
Cálculo do eixo neutro (eixo neutro elástico ponderado por
).
A coordenada do eixo neutro
(medida a partir da face inferior) é a média ponderada por
das áreas:
Substituindo os números (
):
Logo
Passo 5
Distâncias do eixo neutro até as fibras extremas (vai servir para as tensões máximas).
- distância até a fibra inferior (face inferior, material
): - distância até a fibra superior (face superior, material
):
Passo 6
Cálculo dos momentos de inércia de cada camada em relação ao eixo neutro e das contribuições
.
Para cada camada retangular:
onde
é a distância entre o centróide da camada e o eixo neutro.
Para
:
-
-
-
- contribuição
Para
:
-
-
-
- contribuição
Soma das contribuições:
Passo 7
Cálculo do momento máximo admissível imposto pelo latão (camada
, fibra superior).
Usando a fórmula
substituindo
,
e
:
(Isto é o momento que faria a fibra superior de latão atingir
.)
Passo 8
Cálculo do momento máximo admissível imposto pelo alumínio (camada
, fibra inferior).
Usando
com
,
e
:
(Isto é muito maior que o de
, o que indica que o alumínio não é o elemento limitante neste conjunto.)
Passo 9
Conclusão: comparação e escolha do momento admissível da viga.
-
. -
.
O momento admissível da viga é o menor dos dois, portanto a peça é controlada pelo latão
. Assim o momento máximo que pode ser aplicado sem exceder as tensões admissíveis é