6.120. A viga composta é feita de alumínio 6061-T6 ( A ) e latão vermelho C83400 (B). Se a altura h=40 \mathrm{~mm}, determine o momento máximo que pode ser aplicado à viga se a tensão de flexão admissível para o alumínio for \left(\sigma_{\text {adm }}\right)_{\text {al }}=128 MPa e para o latão \left(\sigma_{\text {adm }}\right)_{\text {tat }}=35 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números da figura fornecida):
  • Pedem: determinar o momento fletor máximo que pode ser aplicado à viga composta sem que a tensão de flexão em cada material ultrapasse sua tensão admissível.
  • Dados extraídos da figura e do enunciado:
    • largura da seção (largura no plano): b=150\\ \mathrm{mm}.
    • altura total da seção: 50\\ \mathrm{mm}.
    • espessura da camada B (parte superior): h=40\\ \mathrm{mm}.
    • portanto espessura da camada A (parte inferior): 50-h=10\\ \mathrm{mm}.
    • tensão admissível do alumínio (material A): \left(\sigma_{\text{adm}}\right)_{\text{al}}=128\\ \mathrm{MPa}.
    • tensão admissível do latão (material B): \left(\sigma_{\text{adm}}\right)_{\text{lat}}=35\\ \mathrm{MPa}.
Além disso precisamos dos módulos de elasticidade típicos dos materiais para fazer a análise elástica composta. Vou usar valores usualmente adotados:
  • módulo do alumínio 6061-T6: E_A=69{,}000\\ \mathrm{MPa}.
  • módulo do latão vermelho C83400 (aprox.): E_B=100{,}000\\ \mathrm{MPa}.
Observação: os módulos E são necessários porque, em uma viga composta, a curvatura é a mesma para todos os materiais e a tensão em cada fibra depende de E. Não foi fornecido E no enunciado, então uso valores usuais (se o professor exigir valores diferentes, basta substituir e refazer os cálculos).

Passo 2

Estratégia e fórmulas fundamentais (explicação didática).
Quando a viga está submetida a um momento fletor M, ela adquire uma curvatura \kappa. Para uma seção composta a curvatura é dada por
\kappa=\frac{M}{\sum_i E_i I_i},
onde E_i I_i são os contribuições das partes (cada material) à rigidez flexional total da seção (unidade: E em \mathrm{N/mm^2}, I em \mathrm{mm^4}, então E I tem unidade \mathrm{N\cdot mm^2}).
A tensão em uma fibra numa distância y (medida a partir do eixo neutro) num material i é
\sigma_i = E_i\,\kappa\,y = \frac{M\,E_i\,y}{\sum_j E_j I_j}.
Portanto, para cada material o momento máximo permitido por sua tensão admissível \sigma_{\text{adm},i} é
M_{i,\max}=\frac{\sigma_{\text{adm},i}\,\sum_j E_j I_j}{E_i\,y_{i,\max}},
onde y_{i,\max} é a distância do eixo neutro até a fibra mais crítica desse material (extremo superior ou inferior conforme o caso). O momento admissível da viga será o menor entre os M_{i,\max} (o que aparece primeiro como limite).
Para aplicar isso precisamos:
  1. localizar o eixo neutro da seção composta (usando E-ponderação dos centroides),
  2. calcular os I_i de cada camada em relação ao eixo neutro (uso da fórmula do retângulo + eixo paralelo),
  3. calcular \sum E_i I_i,
  4. aplicar as fórmulas acima para cada material e comparar.
Vou explicar passo a passo cada cálculo numérico.

Passo 3

Dados geométricos e áreas das camadas; posições dos centroides (tudo em mm e MPa).
  • largura b=150\\ \mathrm{mm}.
  • espessura da camada A: t_A=10\\ \mathrm{mm}.
  • espessura da camada B: t_B=40\\ \mathrm{mm}.
  • áreas: A_A=b\,t_A=150\cdot10=1500\\ \mathrm{mm^2}, \qquad A_B=b\,t_B=150\cdot40=6000\\ \mathrm{mm^2}.
  • posições dos centroides medidas a partir da face inferior (origem y=0 na face inferior): y_A=\frac{t_A}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{mm}, \qquad y_B=t_A+\frac{t_B}{2}=10+20=30\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo do eixo neutro (eixo neutro elástico ponderado por E).
A coordenada do eixo neutro \bar{y} (medida a partir da face inferior) é a média ponderada por E das áreas:
\bar{y}=\frac{\displaystyle\sum_i E_i A_i y_i}{\displaystyle\sum_i E_i A_i} =\frac{E_A A_A y_A + E_B A_B y_B}{E_A A_A + E_B A_B}.
Substituindo os números ( E_A=69{,}000\\ \mathrm{MPa},\;E_B=100{,}000\\ \mathrm{MPa}):
E_A A_A y_A =69{,}000\cdot1500\cdot5=517{,}500{,}000,
E_B A_B y_B =100{,}000\cdot6000\cdot30=18{,}000{,}000{,}000,
E_A A_A + E_B A_B =69{,}000\cdot1500 + 100{,}000\cdot6000 =103{,}500{,}000 + 600{,}000{,}000=703{,}500{,}000.
Logo
\bar{y}=\frac{18{,}517{,}500{,}000}{703{,}500{,}000}\approx 26{,}32\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Distâncias do eixo neutro até as fibras extremas (vai servir para as tensões máximas).
  • distância até a fibra inferior (face inferior, material A): y_{\text{bot}}=\bar{y}-0=\bar{y}\approx 26{,}32\\ \mathrm{mm}.
  • distância até a fibra superior (face superior, material B): y_{\text{top}}=50-\bar{y}\approx 50-26{,}32=23{,}68\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo dos momentos de inércia de cada camada em relação ao eixo neutro e das contribuições E_i I_i.
Para cada camada retangular:
I_{\text{centro}}=\frac{b\,t^3}{12}, \qquad I_{\text{em relação ao NA}}=I_{\text{centro}} + A\cdot d^2,çã
onde d é a distância entre o centróide da camada e o eixo neutro.
Para A:
  • I_{c,A}=\dfrac{150\cdot10^3}{12}=12{,}500\\ \mathrm{mm^4}.
  • d_A= \bar{y}-y_A=26{,}32-5=21{,}32\\ \mathrm{mm}.
  • I_A=12{,}500 + 1500\cdot(21{,}32)^2 \approx 694{,}244\\ \mathrm{mm^4}.
  • contribuição E_A I_A =69{,}000\cdot694{,}244\approx 47{,}902{,}836{,}000.
Para B:
  • I_{c,B}=\dfrac{150\cdot40^3}{12}=800{,}000\\ \mathrm{mm^4}.
  • d_B=|y_B-\bar{y}|=|30-26{,}32|=3{,}68\\ \mathrm{mm}.
  • I_B=800{,}000 + 6000\cdot(3{,}68)^2 \approx 881{,}186\\ \mathrm{mm^4}.
  • contribuição E_B I_B =100{,}000\cdot881{,}186\approx 88{,}118{,}600{,}000.
Soma das contribuições:
\sum_j E_j I_j \approx 47{,}902{,}836{,}000 + 88{,}118{,}600{,}000 \approx 136{,}021{,}436{,}000.

Passo 7

Cálculo do momento máximo admissível imposto pelo latão (camada B, fibra superior).
Usando a fórmula
M_{B,\max}=\frac{\sigma_{\text{adm},B}\,\sum_j E_j I_j}{E_B\,y_{\text{top}}},
substituindo \sigma_{\text{adm},B}=35\\ \mathrm{MPa}, E_B=100{,}000\\ \mathrm{MPa} e y_{\text{top}}\approx23{,}68\\ \mathrm{mm}:
M_{B,\max}\approx\frac{35\cdot136{,}021{,}436{,}000}{100{,}000\cdot23{,}68} \approx 2{,}011{,}500\\ \mathrm{N\cdot mm} \approx 2{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Isto é o momento que faria a fibra superior de latão atingir 35\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 8

Cálculo do momento máximo admissível imposto pelo alumínio (camada A, fibra inferior).
Usando
M_{A,\max}=\frac{\sigma_{\text{adm},A}\,\sum_j E_j I_j}{E_A\,y_{\text{bot}}},
com \sigma_{\text{adm},A}=128\\ \mathrm{MPa}, E_A=69{,}000\\ \mathrm{MPa} e y_{\text{bot}}\approx26{,}32\\ \mathrm{mm}:
M_{A,\max}\approx\frac{128\cdot136{,}021{,}436{,}000}{69{,}000\cdot26{,}32} \approx 9{,}585{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm} \approx 9{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Isto é muito maior que o de B, o que indica que o alumínio não é o elemento limitante neste conjunto.)

Passo 9

Conclusão: comparação e escolha do momento admissível da viga.
  • M_{B,\max}\approx 2{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • M_{A,\max}\approx 9{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
O momento admissível da viga é o menor dos dois, portanto a peça é controlada pelo latão B. Assim o momento máximo que pode ser aplicado sem exceder as tensões admissíveis é
M_{\max}=M_{B,\max}\approx 2{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

M_{\max}=2{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}

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