6.127. A viga de concreto armado é feita com duas hastes dereforço de aço.Se a tensão de tração admissível para o aço for \left(\sigma_{\text {acco }}\right)_{\text {adm }}=280 \mathrm{MPa} e a tensão de compressão admissível para o concreto for \left(\sigma_{\text {conc }}\right)_{\text {adm }}=21 \mathrm{MPa}, determine o momento máximo M que pode ser aplicado à seção. Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração. E_{\text {a̧o }}=200 \mathrm{GPa}, E_{\text {conc }}=26,5 \mathrm{GPa}̧.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o momento máximo M que a seção pode resistir, dado que o concreto não suporta tração e que as tensões admissíveis são:
    • tensão admissível do aço: \left(\sigma_{\text{aço}}\right)_{\text{adm}}=280\\ \text{MPa}ç,
    • tensão admissível do concreto (compressão): \left(\sigma_{\text{conc}}\right)_{\text{adm}}=21\\ \text{MPa}.
Informações fornecidas (valores numéricos que usarei):
  • Módulos de Young: E_{\text{aço}}=200\\ \text{GPa}ç, E_{\text{conc}}=26{,}5\\ \text{GPa}.
  • Geometria (extraída da figura):
    • Largura total da mesa (flange) b_f = 200+150+200 = 550\\ \text{mm}.
    • Espessura da mesa (flange) t_f = 100\\ \text{mm}.
    • Largura do corpo central (alma) b_w = 150\\ \text{mm}.
    • Altura da alma abaixo da mesa h_w = 450\\ \text{mm}.
    • Distância do topo da viga até o centro das barras de aço (profundidade efetiva) d = 100 + 450 - 50 = 500\\ \text{mm} (as barras têm centro a 50\\ \text{mm} do fundo).
    • Duas hastes de diâmetro \varphi = 25\\ \text{mm}.
  • Consideração importante do problema: o concreto não trabalha à tração (toda tração será suportada pelo aço).
(obs.: não inicio a resolução aqui — só listei o que o enunciado dá e o que é pedido)

Passo 2

Escolha do método e plano de solução (explicado passo a passo, na linguagem de prova)
  • Como o problema é de flexão elástica com concreto sem tração, vou usar o método da seção transformada: transformar a área das barras de aço em área equivalente de concreto usando a razão modular n=\dfrac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{conc}}}ç. Assim trabalhamos apenas com concreto (áreas transformadas) para encontrar a posição do eixo neutro x (distância do topo até o eixo neutro).
  • Equilíbrio de forças (em flexão elástica): resultante de compressão no concreto (integral linear do campo de tensões de compressão de 0 a x) deve equilibrar a força de tração transformada do aço. Isso gera uma equação para x que não depende da curvatura (apenas da geometria e de n).
  • Depois de obter x, verifico qual limite (aço ou concreto) controla: calculo a curvatura que leva a tensão do concreto no topo a 21 MPa e verifico a tensão no aço; se essa tensão do aço exceder 280 MPa, então o aço controla. Caso o aço controle, uso a tensão admissível do aço para obter a curvatura correspondente e então calculo o momento interno usando a distribuição de tensões (integral do produto tensão × braço).
  • Todos os passos seguintes estarão desenvolvidos com calma e explicando as fórmulas.

Passo 3

Cálculo das áreas e da razão modular n
  • Área de uma barra: \displaystyle A_{\text{barra}}=\frac{\pi \varphi^{2}}{4}. Logo A_{\text{barra}}=\frac{\pi \cdot 25^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 625}{4}=156{,}25\pi\\ \text{mm}^2\approx 490{,}8739\\ \text{mm}^2.
  • Duas barras: \displaystyle A_s = 2\cdot A_{\text{barra}}\approx 981{,}7477\\ \text{mm}^2.
  • Razão modular: n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{conc}}}=\frac{200}{26{,}5}\approx 7{,}5471698.ç
  • Área transformada do aço (em equivalente concreto): A_s' = n A_s \approx 7{,}5471698 \times 981{,}7477\\ \text{mm}^2 \approx 7\,409{,}10\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Equação para a posição do eixo neutro x (seção transformada)
  • Definição das variáveis: x = profundidade do eixo neutro medida a partir do topo; t_f=100\\ \text{mm} (espessura da mesa), b_f=550\\ \text{mm} (largura da mesa), b_w=150\\ \text{mm} (largura da alma).
  • A condição de equilíbrio (resultante compressiva do concreto = resultante trativa transformada das barras) em termos da primeira determinação de momentos é: A_s'\,(d-x)=\int_{0}^{x} b(y)\,(x-y)\,dy,onde b(y) é a largura da seção à profundidade y (a partir do topo): b(y)=b_f para 0\le y\le t_f e b(y)=b_w para t_f\le y\le x (assumindo x>t_f; vamos verificar depois).
  • Se x>t_f (isto é, o eixo neutro penetra na alma), a integral à direita vale: \begin{aligned} \int_{0}^{x} b(y)(x-y)\,dy &= b_f\int_{0}^{t_f}(x-y)\,dy + b_w\int_{t_f}^{x}(x-y)\,dy\\[4pt] &= b_f\big(x t_f-\tfrac{t_f^{2}}{2}\big) + b_w\big(\tfrac{x^{2}}{2}-x t_f + \tfrac{t_f^{2}}{2}\big). \end{aligned}
  • Substituindo os valores numéricos ( b_f=550, t_f=100, b_w=150) simplifica-se: \int_{0}^{x} b(y)(x-y)\,dy = 75\,x^{2} + 40\,000\,x - 2\,000\,000\quad(\text{em mm}^3).(detalhei a algebra: 550(x\cdot100-100^2/2)+150(x^2/2 -100x +100^2/2) resulta no polinômio mostrado)
  • A equação do equilíbrio fica então: A_s'(d-x)=75x^{2}+40\,000x-2\,000\,000.
  • Substituindo A_s'\approx 7\,409{,}10\\ \text{mm}^2 e d=500\\ \text{mm} e recolocando em forma quadrática: 75x^{2} + (40\,000 + A_s')\,x - (2\,000\,000 + A_s' d)=0.Numéricamente: 75x^{2} + 47\,409{,}10\,x - 5\,704\,550 \approx 0.
  • Resolvo a quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante é \Delta \approx 3\,958\,987\,762{,}8,então a raiz positiva relevante é x \approx \frac{-47\,409{,}10 + \sqrt{\Delta}}{2\cdot 75} \approx 103{,}41\\ \text{mm}.
  • Observação: x\approx 103{,}41\\ \text{mm} > t_f=100\\ \text{mm}, portanto a hipótese x>t_f estava correta (o eixo neutro fica logo dentro da alma).]

Passo 5

Decidir qual material governa o momento máximo (aço ou concreto)
  • Se eu limitar o concreto na fibra superior à tensão admissível 21\\ \text{MPa}, qual seria a tensão no aço? A partir da compatibilidade de deformações (linha de deformação linear), a relação entre tensão no topo do concreto e tensão no aço é: \sigma_s = \sigma_{c,\text{top}}\; n\;\frac{d-x}{x}.(explicação: \sigma_{c,\text{top}}=E_{\text{conc}}\kappa x, \sigma_s=E_{\text{aço}}\kappa(d-x)ç. Dividindo: \sigma_s/\sigma_{c,\text{top}}=E_{\text{aço}}(d-x)/(E_{\text{conc}}x)=n(d-x)/xç.)
  • Substituo \sigma_{c,\text{top}}=21\\ \text{MPa}, n\approx 7{,}54717, x\approx103{,}41\\ \text{mm}, d-x\approx 396{,}59\\ \text{mm}: \sigma_s \approx 21\cdot 7{,}54717\cdot\frac{396{,}59}{103{,}41}\approx 608\\ \text{MPa}\\ (\text{aprox.}).
  • Como isso excede claramente \left(\sigma_{\text{aço}}\right)_{\text{adm}}=280\\ \text{MPa}ç, o aço seria plastificado se limitássemos o concreto. Portanto o aço é o elemento que controla a capacidade: o momento máximo é obtido quando a tensão no aço atinge 280\\ \text{MPa}. (Boa notícia: o concreto ficará com tensão de compressão menor que seu admissível sob essa condição — vamos verificar.)

Passo 6

Calcular a curvatura associada à tensão admissível do aço
  • Compatibilidade: \sigma_s = E_{\text{aço}}\,\kappa\,(d-x)ç. Portanto, a curvatura correspondente à tensão admissível do aço é \kappa = \frac{\left(\sigma_{\text{aço}}\right)_{\text{adm}}}{E_{\text{aço}}(d-x)}.çç
  • Substituindo números ( \left(\sigma_{\text{aço}}\right)_{\text{adm}}=280\\ \text{MPa}ç, E_{\text{aço}}=200{,}000\\ \text{MPa}ç, d-x\approx 396{,}59\\ \text{mm}): \kappa \approx \frac{280}{200{,}000\cdot 396{,}5907}\approx 3{,}532\times 10^{-6}\\ \text{mm}^{-1}.

Passo 7

Calcular o momento interno correspondente (integral das tensões × braço)
  • Fórmula geral do momento interno (momento em relação ao eixo neutro) com curvatura \kappa: M=\kappa\left[ E_{\text{conc}}\int_{0}^{x} b(y)(x-y)^{2}\,dy + A_s E_{\text{aço}}(d-x)^{2}\right].ç(Explicação: para cada faixa diferencial a força é \sigma\,dA=E_{\text{conc}}\kappa (x-y)\,b(y)\,dy e o braço relativo ao NA é (x-y), assim o momento da faixa é E_{\text{conc}}\kappa b(y)(x-y)^2 dy; somando a contribuição do aço transformada volta ao produto \!A_s E_{\text{aço}}\kappa (d-x)^2ç.)
  • Calculo da integral \displaystyle I_1=\int_{0}^{x} b(y)(x-y)^{2}\,dy (visto que x>t_f, separo flange e alma): I_1 = b_f\big(x^2 t_f - x t_f^2 + \tfrac{t_f^3}{3}\big) + b_w\cdot \tfrac{(x-t_f)^3}{3}.Substituindo valores e x\approx103{,}41\\ \text{mm}:
    • Termo da flange: x^2 t_f - x t_f^2 + t_f^3/3 \approx 368{,}570{,}13\\ \text{mm}^3.
    • Multiplicando por b_f=550: contribuição da flange \approx 202{,}713{,}573\\ \text{mm}^4.
    • Termo da alma: (x-t_f)^3/3 \approx 13{,}215{,}0\\ \text{mm}^3.
    • Multiplicando por b_w=150: contribuição da alma \approx 1{,}982{,}3\\ \text{mm}^4.
    • Soma: I_1\approx 202{,}715{,}555\\ \text{mm}^4.
  • Agora calculo as duas parcelas do colchete:
    • E_{\text{conc}} I_1 \approx 26{,}500\\ \text{MPa}\times 202{,}715{,}555\\ \text{mm}^4 \approx 5{,}371{,}962{,}207{,}500 (unidade N·mm).
    • A_s E_{\text{aço}}(d-x)^2 \approx 981{,}7477\\ \text{mm}^2 \times 200{,}000\\ \text{MPa}\times (396{,}5907\\ \text{mm})^2 \approx 30{,}882{,}765{,}243{,}400ç.
    • Soma total no colchete: S\approx 5{,}371{,}962{,}207{,}500 + 30{,}882{,}765{,}243{,}400 \approx 36{,}254{,}727{,}450{,}900\\ \text{(N·mm)}.
  • Multiplico por \kappa: M = \kappa\;S \approx 3{,}532\times 10^{-6}\times 36{,}254{,}727{,}450{,}900 \approx 1{,}28066\times 10^{8}\\ \text{N·mm}.
  • Converto para \text{kN}\cdot\text{m}: dividir por 10^{6}: M_{\max}\approx 128{,}07\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 8

Verificação final (checar tensão no concreto)
  • Com a curvatura obtida, a tensão de compressão no topo do concreto é: \sigma_{c,\text{top}} = E_{\text{conc}}\kappa x \approx 26{,}500\cdot 3{,}532\times 10^{-6}\cdot 103{,}41 \approx 9{,}68\\ \text{MPa},que é menor que o admissível 21\\ \text{MPa}. Logo a condição de projeto foi corretamente controlada pelo aço (como já havíamos concluído).

Resposta

M_{\max}=128{,}07\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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