6.127. A viga de concreto armado é feita com duas hastes dereforço de aço.Se a tensão de tração admissível para o aço for
e a tensão de compressão admissível para o concreto for
, determine o momento máximo
que pode ser aplicado à seção. Considere que o concreto não pode suportar uma tensão de tração.
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o momento máximo
que a seção pode resistir, dado que o concreto não suporta tração e que as tensões admissíveis são: - tensão admissível do aço:
, - tensão admissível do concreto (compressão):
.
- tensão admissível do aço:
Informações fornecidas (valores numéricos que usarei):
- Módulos de Young:
, . - Geometria (extraída da figura):
- Largura total da mesa (flange)
. - Espessura da mesa (flange)
. - Largura do corpo central (alma)
. - Altura da alma abaixo da mesa
. - Distância do topo da viga até o centro das barras de aço (profundidade efetiva)
(as barras têm centro a do fundo). - Duas hastes de diâmetro
.
- Largura total da mesa (flange)
- Consideração importante do problema: o concreto não trabalha à tração (toda tração será suportada pelo aço).
(obs.: não inicio a resolução aqui — só listei o que o enunciado dá e o que é pedido)
Passo 2
Escolha do método e plano de solução (explicado passo a passo, na linguagem de prova)
- Como o problema é de flexão elástica com concreto sem tração, vou usar o método da seção transformada: transformar a área das barras de aço em área equivalente de concreto usando a razão modular
. Assim trabalhamos apenas com concreto (áreas transformadas) para encontrar a posição do eixo neutro (distância do topo até o eixo neutro). - Equilíbrio de forças (em flexão elástica): resultante de compressão no concreto (integral linear do campo de tensões de compressão de
a ) deve equilibrar a força de tração transformada do aço. Isso gera uma equação para que não depende da curvatura (apenas da geometria e de ). - Depois de obter
, verifico qual limite (aço ou concreto) controla: calculo a curvatura que leva a tensão do concreto no topo a 21 MPa e verifico a tensão no aço; se essa tensão do aço exceder 280 MPa, então o aço controla. Caso o aço controle, uso a tensão admissível do aço para obter a curvatura correspondente e então calculo o momento interno usando a distribuição de tensões (integral do produto tensão × braço). - Todos os passos seguintes estarão desenvolvidos com calma e explicando as fórmulas.
Passo 3
Cálculo das áreas e da razão modular
- Área de uma barra:
. Logo - Duas barras:
- Razão modular:
- Área transformada do aço (em equivalente concreto):
Passo 4
Equação para a posição do eixo neutro
(seção transformada)
- Definição das variáveis:
= profundidade do eixo neutro medida a partir do topo; (espessura da mesa), (largura da mesa), (largura da alma). - A condição de equilíbrio (resultante compressiva do concreto = resultante trativa transformada das barras) em termos da primeira determinação de momentos é:
onde é a largura da seção à profundidade (a partir do topo): para e para (assumindo ; vamos verificar depois). - Se
(isto é, o eixo neutro penetra na alma), a integral à direita vale: - Substituindo os valores numéricos (
, , ) simplifica-se: (detalhei a algebra: resulta no polinômio mostrado) - A equação do equilíbrio fica então:
- Substituindo
e e recolocando em forma quadrática: Numéricamente: - Resolvo a quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante é
então a raiz positiva relevante é - Observação:
, portanto a hipótese estava correta (o eixo neutro fica logo dentro da alma).]
Passo 5
Decidir qual material governa o momento máximo (aço ou concreto)
- Se eu limitar o concreto na fibra superior à tensão admissível
, qual seria a tensão no aço? A partir da compatibilidade de deformações (linha de deformação linear), a relação entre tensão no topo do concreto e tensão no aço é: (explicação: , . Dividindo: .) - Substituo
, , , : - Como isso excede claramente
, o aço seria plastificado se limitássemos o concreto. Portanto o aço é o elemento que controla a capacidade: o momento máximo é obtido quando a tensão no aço atinge . (Boa notícia: o concreto ficará com tensão de compressão menor que seu admissível sob essa condição — vamos verificar.)
Passo 6
Calcular a curvatura associada à tensão admissível do aço
- Compatibilidade:
. Portanto, a curvatura correspondente à tensão admissível do aço é - Substituindo números (
, , ):
Passo 7
Calcular o momento interno correspondente (integral das tensões × braço)
- Fórmula geral do momento interno (momento em relação ao eixo neutro) com curvatura
: (Explicação: para cada faixa diferencial a força é e o braço relativo ao NA é , assim o momento da faixa é ; somando a contribuição do aço transformada volta ao produto .) - Calculo da integral
(visto que , separo flange e alma): Substituindo valores e : - Termo da flange:
. - Multiplicando por
: contribuição da flange - Termo da alma:
. - Multiplicando por
: contribuição da alma - Soma:
- Termo da flange:
- Agora calculo as duas parcelas do colchete:
-
(unidade N·mm). -
. - Soma total no colchete:
-
- Multiplico por
: - Converto para
: dividir por :
Passo 8
Verificação final (checar tensão no concreto)
- Com a curvatura obtida, a tensão de compressão no topo do concreto é:
que é menor que o admissível . Logo a condição de projeto foi corretamente controlada pelo aço (como já havíamos concluído).