6.103. Determine o valor máximo do momento fletor \mathbf{M} de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse 100 MPa .

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o valor máximo do momento fletor \,M\, de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse \,100\\ \text{MPa}.
Informações relevantes que eu peguei da figura:
  • A tensão admissível: \sigma_{\text{adm}} = 100\\ \text{MPa}.
  • A seção transversal é uma seção quadrada oca (quadrado externo menos quadrado interno), com:
    • lado externo do quadrado: \,a_o = 150\\ \text{mm},
    • lado interno (abertura) do quadrado: \,a_i = 100\\ \text{mm}.
  • A flexão considerada é em torno do eixo centroidal (ou seja, as fibras máximas estão a uma distância igual a metade do lado externo): a distância até a fibra extrema é \,c = \dfrac{a_o}{2} = 75\\ \text{mm}.

Passo 2

Conceito de tensão de flexão (aula curta e prática).
  • Para flexão simples em torno de um eixo centroidal a tensão em uma fibra a distância y do eixo neutro é dada por
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão (N/mm ^2 ou MPa),
  • M é o momento fletor (N·mm),
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (mm),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (mm ^4).
  • A máxima tensão de flexão ocorre na fibra mais distante do eixo neutro, isto é em y=c. Assim:
\sigma_{\max} = \frac{M\,c}{I}\quad\Rightarrow\quad M_{\max} = \frac{\sigma_{\max}\,I}{c}.
Explicando em linguagem simples: primeiro calcula-se a rigidez geométrica da seção ( I), depois divide-se por a distância até a fibra extrema ( c) para obter o módulo de resistência da seção S=I/c; por fim M_{\max}=\sigma_{\text{adm}}\cdot S.

Passo 3

Como calcular o momento de inércia I de um quadrado oco centrado.
  • O momento de inércia de um quadrado maciço de lado a em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo a um dos lados vale
I_{\text{quadrado}}=\frac{a^{4}}{12}.
  • Para um quadrado oco centrado (quadrado externo menos quadrado interno) basta subtrair os momentos de inércia:
I = \frac{a_{o}^{4}-a_{i}^{4}}{12}.

Passo 4

Cálculo explícito de I com os números dados.
  • Primeiro calcular a_o^{2} e a_o^{4}:
a_o=150\\ \text{mm}\quad\Rightarrow\quad a_o^{2}=150^{2}=22500,\quad a_o^{4}=(22500)^{2}=506\,250\,000.
  • Agora para o quadrado interno:
a_i=100\\ \text{mm}\quad\Rightarrow\quad a_i^{2}=100^{2}=10000,\quad a_i^{4}=(10000)^{2}=100\,000\,000.
  • Subtraindo e dividindo por 12:
I=\frac{a_{o}^{4}-a_{i}^{4}}{12}=\frac{506\,250\,000-100\,000\,000}{12}=\frac{406\,250\,000}{12}=33\,854\,166{,}6667\\ \text{mm}^{4}.

Passo 5

Calcular o módulo de resistência S=\dfrac{I}{c}.
  • A distância até a fibra extrema é \,c=75\\ \text{mm}.
S=\frac{I}{c}=\frac{33\,854\,166{,}6667}{75}=451\,388{,}8889\\ \text{mm}^{3}.

Passo 6

Obter M_{\max} usando \sigma_{\text{adm}}=100\\ \text{MPa}=100\\ \text{N/mm}^{2}.
M_{\max}=\sigma_{\text{adm}}\;S=100\cdot 451\,388{,}8889 = 45\,138\,888{,}89\\ \text{N·mm}.
Converter para N·m (dividindo por 1000):
M_{\max}=45\,138{,}8889\\ \text{N·mm} = 45\,138{,}8889/1000 = 45{,}1388889\\ \text{N·m}\approx 45{,}14\\ \text{kN·m}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo.
  • Portanto, com a seção quadrada externa 150\\ \text{mm} e abertura interna 100\\ \text{mm}, o momento fletor máximo que garante que a tensão de flexão não ultrapasse 100\\ \text{MPa} é cerca de 45{,}14\\ \text{kN·m}. Dá pra fazer isso na prova com calma: primeira calcule I do sólido externo, subtraia o do vazio, divida por c e multiplique pela tensão admissível. Vai dar certo — respira, você consegue!

Resposta

M_{\max}\approx 45{,}14\\ \text{kN·m}

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