Q 111 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=5 raiz3 x^4+5 x+1;

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=5raiz3x^4+5x+1
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f com expoente fracionário para identificar melhor a composição:
f(x)=5,(3x^4+5x+1)^tfrac12

Passo 3

Usamos a regra da cadeia. Se h(x)=[g(x)]^1/2, então
h'(x)=tfrac12,[g(x)]^-1/2cdot g'(x)
Como f(x)=5,h(x), vale
f'(x)=5,h'(x)=5cdottfrac12,[g(x)]^-1/2cdot g'(x)

Passo 4

Calculamos g(x)=3x^4+5x+1 e sua derivada está dada por
g'(x)=12x^3+5

Passo 5

Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x) =5cdottfrac12,(3x^4+5x+1)^-tfrac12cdot(12x^3+5) =60x^3+252,(3x^4+5x+1)^tfrac12 =60x^3+252raiz3x^4+5x+1

Resposta

f'(x)=60x^3+252raiz3x^4+5x+1

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