Seja (
) um espaço métrico. Seja
um subconjunto de
.
i) Prove que a função
dada por
é contínua.
ii) Use item i) para mostrar que se
é fechado e
é compacto, então
.
i) Prove que a função
ii) Use item i) para mostrar que se
Passo 1
O enunciado define em um espaço métrico
o conjunto
e a função
Precisamos mostrar que
i) é contínua e
ii) usando essa continuidade, provar que se é fechado,
é compacto e
, então
.
i)
ii) usando essa continuidade, provar que se
Passo 2
Para i), vamos usar a desigualdade triangular. Sejam
. Para todo
vale
logo, tomando ínfimo sobre
,
Invertendo os papéis de
e
obtemos
Subtraindo essas duas desigualdades segue
Passo 3
A desigualdade
mostra que
é Lipschitz com constante 1, e portanto contínua em todo
. Isso conclui i).
Passo 4
Para ii), considere a restrição de
a
. Como
é compacto e
é contínua,
atinge seu mínimo em algum
. Ou seja, existe
tal que
Como
é fechado, existe
com
. Se
fosse zero, teríamos
, mas isso contradiz
. Logo
Resposta
i) A função
satisfaz
, logo é contínua.
ii) Se é fechado,
é compacto e
, então a restrição de
a
atinge um mínimo estritamente positivo, isto é,
.
ii) Se