Seja ( M, d ) um espaço métrico. Seja A subset M um subconjunto de M.
i) Prove que a função g: M R dada por g(x)=d(x, A) é contínua.
ii) Use item i) para mostrar que se F subset M é fechado e K subset M é compacto, então d(K, F)>0.

Passo 1

O enunciado define em um espaço métrico (M,d) o conjunto Asubset M e a função
g:MtoR, g(x)=d(x,A)=infain Ad(x,a)
Precisamos mostrar que
i) g é contínua e
ii) usando essa continuidade, provar que se Fsubset M é fechado, Ksubset M é compacto e Kcap F=emptyset, então d(K,F)>0.

Passo 2

Para i), vamos usar a desigualdade triangular. Sejam x,yin M. Para todo ain A vale
d(x,a)<= d(x,y)+d(y,a),
logo, tomando ínfimo sobre ain A,
g(x)=infain Ad(x,a)<= d(x,y)+infain Ad(y,a)=d(x,y)+g(y)
Invertendo os papéis de x e y obtemos
g(y)<= d(x,y)+g(x)
Subtraindo essas duas desigualdades segue
|g(x)-g(y)|<= d(x,y)

Passo 3

A desigualdade |g(x)-g(y)|<= d(x,y) mostra que g é Lipschitz com constante 1, e portanto contínua em todo M. Isso conclui i).

Passo 4

Para ii), considere a restrição de g a K. Como K é compacto e g é contínua, g atinge seu mínimo em algum x0in K. Ou seja, existe x0 tal que
g(x0)=minxin Kg(x)
Como F é fechado, existe a0in F com g(x0)=d(x0,a0). Se g(x0) fosse zero, teríamos x0=a0in Kcap F, mas isso contradiz Kcap F=emptyset. Logo
d(K,F)=minxin Kd(x,F)=g(x0)>0

Resposta

i) A função g(x)=d(x,A) satisfaz |g(x)-g(y)|<= d(x,y), logo é contínua.
ii) Se F é fechado, K é compacto e Kcap F=emptyset, então a restrição de g(x)=d(x,F) a K atinge um mínimo estritamente positivo, isto é, d(K,F)>0.

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