9.111 Determine o momento de inércia de massa do anel de massa m, cortado de uma placa delgada uniforme, com relação (a) ao eixo A A^{\prime}(b) ao eixo centroidal C C^{\prime} que é perpendicular ao plano do anel.

Passo 1

O enunciado fornece um anel delgado uniforme (uma lâmina anular) com:
  • massa m,
  • raio interno r_1,
  • raio externo r_2.
O problema pede:
(a) o momento de inércia relativo ao eixo A A^{\prime} (conforme a figura);
(b) o momento de inércia relativo ao eixo centroidal C C^{\prime}, que é perpendicular ao plano do anel.
Observação: estou usando informações visuais da figura fornecida para identificar as orientações dos eixos (estas informações serão listadas detalhadamente na seção de imagens).

Passo 2

Vamos começar encontrando a distribuição de massa do anel: a lâmina é uniforme, então a densidade linear de área (massa por unidade de área) é constante. Denotemos por \sigma essa densidade de massa por área. Então
\sigma=\frac{m}{\text{área do anel}}=\frac{m}{\pi\bigl(r_2^2-r_1^2\bigr)}.á
Explicando devagar: a área de um disco de raio R é \pi R^2; o anel é a diferença entre dois discos, logo a área é \pi r_2^2-\pi r_1^2=\pi(r_2^2-r_1^2). Como a placa é uniforme, a massa total m está distribuída uniformemente nessa área, daí \sigma acima.

Passo 3

Calcular o momento de inércia centroidal I_{C} em relação ao eixo C C^{\prime} perpendicular ao plano (este é o eixo que passa pelo centro do anel e sai do plano). Para uma lâmina plana a contribuição de massa num elemento de área em coordenadas polares é:
  • elemento de área: dA=r\,dr\,d\theta,
  • elemento de massa: dm=\sigma\,dA=\sigma\,r\,dr\,d\theta,
  • a distância do elemento ao eixo perpendicular pela origem é r, logo a contribuição para o momento de inércia é r^2\,dm.
Portanto, usando integração em coordenadas polares:
I_{C}=\iint r^2\,dm=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=r_1}^{r_2} r^2\bigl(\sigma\,r\,dr\,d\theta\bigr) =\sigma\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{r_1}^{r_2} r^3\,dr.
Calculemos as integrais passo a passo:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta=2\pi, \qquad \int_{r_1}^{r_2} r^3\,dr=\left.\frac{r^4}{4}\right|_{r_1}^{r_2}=\frac{r_2^4-r_1^4}{4}.
Substituindo,
I_{C}=\sigma\cdot 2\pi\cdot\frac{r_2^4-r_1^4}{4}=\frac{\pi\sigma}{2}\bigl(r_2^4-r_1^4\bigr).
Agora substituímos \sigma=\dfrac{m}{\pi(r_2^2-r_1^2)}:
I_{C}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{m}{\pi(r_2^2-r_1^2)}\bigl(r_2^4-r_1^4\bigr) =\frac{m}{2}\cdot\frac{r_2^4-r_1^4}{r_2^2-r_1^2}.
Simplificamos a fração usando fatoração r_2^4-r_1^4=(r_2^2-r_1^2)(r_2^2+r_1^2):
I_{C}=\frac{m}{2}\bigl(r_2^2+r_1^2\bigr).
Comentário didático: esse é um resultado clássico — o momento de inércia de uma lâmina anular (em relação ao eixo perpendicular pelo centro) é metade da massa vezes a soma dos quadrados dos raios.

Passo 4

Explicando como obter momentos em eixos no plano do anel (diâmetros): vale o Teorema dos Eixos Perpendiculares para lâminas planas: para um lamina plana no plano xy com eixo perpendicular z,
I_x+I_y=I_z,
onde I_z é o momento em relação ao eixo perpendicular (aqui I_C). Para o anel, por simetria circular, os momentos em dois eixos perpendiculares no plano que passam pelo centro são iguais, isto é I_x=I_y. Logo
2I_x=I_C \quad\Rightarrow\quad I_x=\frac{I_C}{2}.
Substituindo I_C achado,
I_x=I_y=\frac{1}{2}\cdot\frac{m}{2}\bigl(r_2^2+r_1^2\bigr)=\frac{m}{4}\bigl(r_2^2+r_1^2\bigr).
Isto dá o momento de inércia em relação a qualquer eixo diametral no plano do anel que passe pelo centro.

Passo 5

Agora interpretando o eixo A A^{\prime} da figura: a figura mostra A A^{\prime} como um eixo paralelo a C C^{\prime} (ou seja, também perpendicular ao plano) mas deslocado e tangente ao anel (isto foi observado na imagem). Para um eixo paralelo deslocado em distância d do eixo centroidal, usa-se o Teorema do Eixo Paralelo (Steiner):
I_{\text{paralelo}}=I_{C}+m d^2,
onde d é a distância entre os eixos. Se A A^{\prime} é tangente ao contorno externo do anel, a distância entre o centro e A A^{\prime} é d=r_2. Assim,
I_{A A^{\prime}}=I_{C}+m r_2^2 =\frac{m}{2}\bigl(r_2^2+r_1^2\bigr)+m r_2^2.
Agrupando termos:
I_{A A^{\prime}}=\frac{m}{2}r_1^2+\frac{3m}{2}r_2^2 =\frac{m}{2}\bigl(r_1^2+3r_2^2\bigr).

Passo 6

Resumo (para fixar a ideia):
  • Primeiro obtivemos I_C por integração direta usando coordenadas polares e densidade superficial \sigma.
  • Em seguida usamos o Teorema dos Eixos Perpendiculares para obter momentos em eixos diametrais no plano.
  • Finalmente aplicamos o Teorema do Eixo Paralelo para o eixo A A^{\prime} tangente (distância d=r_2).

Resposta

(a) I_{A A^{\prime}}=\dfrac{m}{2}\bigl(r_1^2+3r_2^2\bigr)\newline
(b) I_{C C^{\prime}}=\dfrac{m}{2}\bigl(r_1^2+r_2^2\bigr)

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