9.111 Determine o momento de inércia de massa do anel de massa m, cortado de uma placa delgada uniforme, com relação (a) ao eixo A A^{\prime}(b) ao eixo centroidal C C^{\prime} que é perpendicular ao plano do anel.
Passo 1
O enunciado fornece um anel delgado uniforme (uma lâmina anular) com:
massa m,
raio interno r_1,
raio externo r_2.
O problema pede:
(a) o momento de inércia relativo ao eixo A A^{\prime} (conforme a figura);
(b) o momento de inércia relativo ao eixo centroidal C C^{\prime}, que é perpendicular ao plano do anel.
Observação: estou usando informações visuais da figura fornecida para identificar as orientações dos eixos (estas informações serão listadas detalhadamente na seção de imagens).
Passo 2
Vamos começar encontrando a distribuição de massa do anel: a lâmina é uniforme, então a densidade linear de área (massa por unidade de área) é constante. Denotemos por \sigma essa densidade de massa por área. Então
\sigma=\frac{m}{\text{área do anel}}=\frac{m}{\pi\bigl(r_2^2-r_1^2\bigr)}.
Explicando devagar: a área de um disco de raio R é \pi R^2; o anel é a diferença entre dois discos, logo a área é \pi r_2^2-\pi r_1^2=\pi(r_2^2-r_1^2). Como a placa é uniforme, a massa total m está distribuída uniformemente nessa área, daí \sigma acima.
Passo 3
Calcular o momento de inércia centroidal I_{C} em relação ao eixo C C^{\prime} perpendicular ao plano (este é o eixo que passa pelo centro do anel e sai do plano). Para uma lâmina plana a contribuição de massa num elemento de área em coordenadas polares é:
elemento de área: dA=r\,dr\,d\theta,
elemento de massa: dm=\sigma\,dA=\sigma\,r\,dr\,d\theta,
a distância do elemento ao eixo perpendicular pela origem é r, logo a contribuição para o momento de inércia é r^2\,dm.
Portanto, usando integração em coordenadas polares:
Simplificamos a fração usando fatoração r_2^4-r_1^4=(r_2^2-r_1^2)(r_2^2+r_1^2):
I_{C}=\frac{m}{2}\bigl(r_2^2+r_1^2\bigr).
Comentário didático: esse é um resultado clássico — o momento de inércia de uma lâmina anular (em relação ao eixo perpendicular pelo centro) é metade da massa vezes a soma dos quadrados dos raios.
Passo 4
Explicando como obter momentos em eixos no plano do anel (diâmetros): vale o Teorema dos Eixos Perpendiculares para lâminas planas: para um lamina plana no plano xy com eixo perpendicular z,
I_x+I_y=I_z,
onde I_z é o momento em relação ao eixo perpendicular (aqui I_C). Para o anel, por simetria circular, os momentos em dois eixos perpendiculares no plano que passam pelo centro são iguais, isto é I_x=I_y. Logo
Isto dá o momento de inércia em relação a qualquer eixo diametral no plano do anel que passe pelo centro.
Passo 5
Agora interpretando o eixo A A^{\prime} da figura: a figura mostra A A^{\prime} como um eixo paralelo a C C^{\prime} (ou seja, também perpendicular ao plano) mas deslocado e tangente ao anel (isto foi observado na imagem). Para um eixo paralelo deslocado em distância d do eixo centroidal, usa-se o Teorema do Eixo Paralelo (Steiner):
I_{\text{paralelo}}=I_{C}+m d^2,
onde d é a distância entre os eixos. Se A A^{\prime} é tangente ao contorno externo do anel, a distância entre o centro e A A^{\prime} é d=r_2. Assim,