9-115 Consider the following steady, three-dimensional velocity field in Cartesian coordinates: \vec{V}=(u, v, w)= \left(a x z^{2}-b y\right) \vec{i}+c x y z \vec{j}+\left(d z^{3}+e x z^{2}\right) \vec{k}, where a, b, c, d, and e are constants. Under what conditions is this flow field incompressible? What are the primary dimensions of constants a, b, c, d, and e ?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade tridimensional em coordenadas cartesianas
\vec{V}=(u,v,w)=\bigl(a x z^{2}-b y\bigr)\,\vec{i}+c x y z\,\vec{j}+\bigl(d z^{3}+e x z^{2}\bigr)\,\vec{k},
com a,b,c,d,e constantes. As perguntas são duas:
  1. Sob que condições esse campo é incompressível?
  2. Quais são as dimensões primárias (unidades fundamentais) das constantes a,b,c,d,e ?

Passo 2

Lembrando o que significa incompressível: um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é nula em todo lugar. Em coordenadas cartesianas a divergência é
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui vou calcular cada derivada parcial explicitamente (passo a passo) e somá-las.

Passo 3

Calcular \partial u/\partial x. Como u(x,y,z)=a x z^{2}-b y, tratamos z e y como constantes ao derivar em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a x z^{2}-b y\bigr)=a z^{2}.
(A derivada de a x z^{2} em relação a x é a z^{2}; a derivada de -b y em relação a x é zero.)
Calcular \partial v/\partial y. Como v(x,y,z)=c x y z,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(c x y z\bigr)=c x z.
(Aqui x e z são constantes na derivação em y.)
Calcular \partial w/\partial z. Como w(x,y,z)=d z^{3}+e x z^{2},
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(d z^{3}+e x z^{2}\bigr)=3d z^{2}+2e x z.
(Usou-se regra de potência: \frac{d}{dz}z^{3}=3z^{2} e \frac{d}{dz}z^{2}=2z.)

Passo 4

Somando as três parcelas obtemos a divergência:
\nabla\cdot\vec{V}=a z^{2}+c x z+3d z^{2}+2e x z.
Agrupando termos semânticos semelhantes:
\nabla\cdot\vec{V}=(a+3d)z^{2}+(c+2e)x z.
Para que o fluxo seja incompressível precisamos de \nabla\cdot\vec{V}=0 em todo ponto (x,y,z). A expressão acima é um polinômio em x e z; para que seja identicamente zero para todo x e z os coeficientes de z^{2} e de x z devem ser nulos. Assim obtemos as condições:
a+3d=0,\qquad c+2e=0.
Ou, reescrevendo,
a=-3d,\qquad c=-2e.
Note que b não aparece na divergência, portanto b pode ser qualquer constante sem afetar a incompressibilidade.

Passo 5

Agora as dimensões (unidades fundamentais). Denotando por L dimensão de comprimento e T de tempo, a velocidade tem dimensão [{\rm velocity}]=L\,T^{-1}. As coordenadas x,y,z têm dimensão L. Cada termo dentro das componentes de \vec V deve ter dimensão L\,T^{-1}. Vou igualar dimensões termo a termo:
  • Do termo a x z^{2}: [a]\,[x]\,[z]^{2}=[a]\,L^{3}=L\,T^{-1}. Logo
[a]=L^{-2}T^{-1}.
  • Do termo -b y: [b]\,[y]=[b]\,L=L\,T^{-1}. Logo
[b]=T^{-1}.
  • Do termo c x y z: [c]\,L^{3}=L\,T^{-1}. Logo
[c]=L^{-2}T^{-1}.
  • Do termo d z^{3}: [d]\,L^{3}=L\,T^{-1}. Logo
[d]=L^{-2}T^{-1}.
  • Do termo e x z^{2}: [e]\,L^{3}=L\,T^{-1}. Logo
[e]=L^{-2}T^{-1}.
Observação: as relações de incompressibilidade a=-3d e c=-2e são consistentes dimensionalmente porque a,d têm a mesma dimensão e c,e também.

Passo 6

Resumo final e interpretação rápida: para tornar o campo incompressível deve-se escolher a e c relacionados a d e e respectivamente por a=-3d e c=-2e. A constante b é livre. As dimensões mostram que a,c,d,e têm dimensão L^{-2}T^{-1} e b tem dimensão T^{-1}.

Resposta

Condições de incompressibilidade: a=-3d e c=-2e.
Dimensões: [a]=[c]=[d]=[e]=L^{-2}T^{-1} e [b]=T^{-1}.

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