9-115 Consider the following steady, three-dimensional velocity field in Cartesian coordinates:
, where
, and
are constants. Under what conditions is this flow field incompressible? What are the primary dimensions of constants
, and
?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade tridimensional em coordenadas cartesianas
com
constantes. As perguntas são duas:
- Sob que condições esse campo é incompressível?
- Quais são as dimensões primárias (unidades fundamentais) das constantes
?
Passo 2
Lembrando o que significa incompressível: um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é nula em todo lugar. Em coordenadas cartesianas a divergência é
Aqui vou calcular cada derivada parcial explicitamente (passo a passo) e somá-las.
Passo 3
Calcular
. Como
, tratamos
e
como constantes ao derivar em relação a
:
(A derivada de
em relação a
é
; a derivada de
em relação a
é zero.)
Calcular
. Como
,
(Aqui
e
são constantes na derivação em
.)
Calcular
. Como
,
(Usou-se regra de potência:
e
.)
Passo 4
Somando as três parcelas obtemos a divergência:
Agrupando termos semânticos semelhantes:
Para que o fluxo seja incompressível precisamos de
em todo ponto
. A expressão acima é um polinômio em
e
; para que seja identicamente zero para todo
e
os coeficientes de
e de
devem ser nulos. Assim obtemos as condições:
Ou, reescrevendo,
Note que
não aparece na divergência, portanto
pode ser qualquer constante sem afetar a incompressibilidade.
Passo 5
Agora as dimensões (unidades fundamentais). Denotando por
dimensão de comprimento e
de tempo, a velocidade tem dimensão
. As coordenadas
têm dimensão
. Cada termo dentro das componentes de
deve ter dimensão
. Vou igualar dimensões termo a termo:
- Do termo
: . Logo
- Do termo
: . Logo
- Do termo
: . Logo
- Do termo
: . Logo
- Do termo
: . Logo
Observação: as relações de incompressibilidade
e
são consistentes dimensionalmente porque
têm a mesma dimensão e
também.
Passo 6
Resumo final e interpretação rápida: para tornar o campo incompressível deve-se escolher
e
relacionados a
e
respectivamente por
e
. A constante
é livre. As dimensões mostram que
têm dimensão
e
tem dimensão
.
Resposta
Condições de incompressibilidade:
e
.
Dimensões: e
.
Dimensões: