6.112 Um tanque de 150 L inicialmente evacuado é conectado por meio de uma válvula a uma linha de ar comprimido a 25^{\circ} \mathrm{C} e 8 MPa . Quando essa válvula é aberta, ar escoa para o interior do tanque. A válvula é fechada quando a pressão interna atinge 6 MPa . Esse preenchimento é muito rápido e pode ser considerado adiabático. O tanque é deixado em repouso para resfriar-se naturalmente. Determine a pressão interna no tanque quando sua temperatura interna igualar-se à do ambiente, 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve o enchimento rápido de um tanque de 150,L inicialmente evacuado, ligado a uma linha de ar a 25^\circC e 8,MPa. A válvula fecha quando a pressão interna atinge 6,MPa. Como o processo de enchimento é muito rápido, podemos considerá-lo adiabático e sem trabalho de eixo, mas com fluxo de massa entrando. Vamos usar o balanço de energia para sistema aberto (controle sobre o tanque) e depois idealizar o ar como gás ideal de calores específicos constantes para determinar a temperatura de enchimento e, em seguida, a pressão final após o resfriamento natural de volta a 25^\circC.

Passo 2

Balanço de energia para sistema aberto (tanque):
Não há trocas de calor ( Q=0), não há trabalho de eixo ( W=0), não há massa saindo, só entra massa com entalpia h_{\mathrm{in}}. O tanque parte vazio, logo E_{\mathrm{inicial}}=0. Ao final do enchimento, tudo o que entrou ficou como energia interna do gás no tanque:
E_{\mathrm{final}} =\;m\,u_{\mathrm{fill}} =\;m\,h_{\mathrm{in}}
Dividindo por m, obtemos
u_{\mathrm{fill}} = h_{\mathrm{in}}.

Passo 3

Para ar como gás ideal de calores específicos constantes:
u = c_v\,T, \quad h = c_p\,T.
Na linha de ar T_{\mathrm{in}}=25^\circ\text{C}=298\text{ K}, então h_{\mathrm{in}}=c_p\,T_{\mathrm{in}}. No tanque, após enchimento,
c_v\,T_{\mathrm{fill}} = c_p\,T_{\mathrm{in}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\mathrm{fill}} = \frac{c_p}{c_v}\;T_{\mathrm{in}} = \gamma\,T_{\mathrm{in}}.

Passo 4

Para o ar \gamma = c_p/c_v \approx 1{,}4. Logo
T_{\mathrm{fill}} =1{,}4\times 298\text{ K} =417\text{ K}.
Nesse instante o tanque está em p_{\mathrm{fill}}=6,MPa e T_{\mathrm{fill}}=417,K.

Passo 5

Após o resfriamento natural até T_0=25^\circC =298,K, a massa m no tanque permanece a mesma. Pela equação de estado do gás ideal:
p_{\mathrm{final}}\,V = m\,R\,T_0, \quad p_{\mathrm{fill}}\,V = m\,R\,T_{\mathrm{fill}}.
Dividindo as duas expressões:
\frac{p_{\mathrm{final}}}{p_{\mathrm{fill}}} =\frac{T_0}{T_{\mathrm{fill}}} \quad\Longrightarrow\quad p_{\mathrm{final}} = p_{\mathrm{fill}}\;\frac{T_0}{T_{\mathrm{fill}}}.

Passo 6

Substituindo valores:
p_{\mathrm{final}} =6{,}0\text{ MPa}\times\frac{298\text{ K}}{417\text{ K}} \approx4{,}29\text{ MPa}.

Resposta

A pressão interna no tanque, depois de resfriar a 25^\circC, é aproximadamente 4{,}29,MPa.

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