4.119. A junta é composta por três chapas de aço A-36 interligadas nas costuras. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B quando a junta for submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 5 mm .

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B quando a junta é submetida às cargas axiais mostradas.
Informações fornecidas (extraídas da figura e do enunciado):
  • Comprimentos das regiões ao longo da junta:
    • Região esquerda (apenas uma chapa): 600\\ \text{mm}.
    • Região de sobreposição (todas as chapas juntas): 200\\ \text{mm}.
    • Região direita (duas chapas): 800\\ \text{mm}.
  • Cargas axiais nas extremidades (peguei da imagem):
    • Em A (extremidade esquerda): 46\\ \text{kN} puxando para a esquerda.
    • Em B (extremidade direita): duas forças de 23\\ \text{kN} cada, totalizando 46\\ \text{kN} para a direita.
  • Geometria das chapas (dado do enunciado / figura):
    • Espessura de cada chapa: 5\\ \text{mm}.
    • Largura (perpendicular à espessura, indicada na figura): 100\\ \text{mm}.
O pedido é um único valor: deslocamento relativo A em relação a B.

Passo 2

Plano de resolução (passos que vamos usar) — sem começar a calcular ainda:
  • Usar compatibilidade de deformação e equilíbrio das forças na junta.
  • Tratar cada chapa como elemento axial com rigidez AE/L quando existe naquela região.
  • Nas regiões onde várias chapas estão sobrepostas e soldadas, as chapas têm a mesma deformação axial (compatibilidade) e, portanto, a força total naquela seção divide-se entre as chapas proporcionalmente às suas áreas (como as chapas são idênticas, a força é dividida igualmente entre elas nessa seção).
  • Calcular a deformação axial (alongamento) de cada trecho relevante usando a fórmula básica da tração axial \delta=\frac{F\,L}{A\,E},onde:
    • F é a força axial na chapa naquele trecho (N),
    • L é o comprimento do trecho (mm),
    • A é a área da seção transversal da chapa (mm ^2),
    • E é o módulo de elasticidade do aço (N/mm ^2).
Observação sobre E: para aço A-36 usa-se o valor padrão aproximado
E=200\\ \text{GPa}=200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Vou adotar E=200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal de uma chapa (peguei espessura e largura da figura/enunciado):
\text{espessura}=5\\ \text{mm},\qquad \text{largura}=100\\ \text{mm}.
Logo a área de cada chapa é
A_{\text{chapa}}=5\times100=500\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Determinar as forças axiais em cada chapa em cada trecho (usar equilíbrio e divisão proporcional à área nas regiões sobrepostas).
Interpretação da geometria (peguei isso da imagem):
  • De x=0 (A) até x=600\\ \text{mm}: existe apenas a chapa 1 — ela suporta toda a força de 46\\ \text{kN}.
  • De x=600 até x=800\\ \text{mm} (trecho de sobreposição de 200\\ \text{mm}): existem as três chapas (1, 2 e 3) soldadas. A força total que atravessa a seção é 46\\ \text{kN}, dividida igualmente entre as três chapas (porque áreas iguais).
  • De x=800 até x=1600\\ \text{mm} (trecho de 800\\ \text{mm} até B): existem apenas as chapas 2 e 3; cada uma carrega 23\\ \text{kN} (conforme mostra a figura).
Agora as forças numéricas (em N, para usar com E em N/mm ^2):
  • Força total: 46\\ \text{kN}=46\,000\\ \text{N}.
  • Em região de três chapas: cada chapa carrega \frac{46\\ \text{kN}}{3}=\frac{46\,000}{3}\\ \text{N}=15\,333{,}333\ldots\\ \text{N}.
  • Em região direita (somente chapas 2 e 3): cada chapa =23\\ \text{kN}=23\,000\\ \text{N}.
Resumo das forças por trecho para cada chapa:
  • Chapa 1:
    • 0 600\\ \text{mm}: F=46\,000\\ \text{N}.
    • 600 800\\ \text{mm}: F=\dfrac{46\,000}{3}\\ \text{N}.
    • Chapa 1 termina em x=800\\ \text{mm}.
  • Chapas 2 e 3:
    • 600 800\\ \text{mm}: F=\dfrac{46\,000}{3}\\ \text{N} (cada).
    • 800 1600\\ \text{mm}: F=23\,000\\ \text{N} (cada).

Passo 5

Calcular os alongamentos de cada trecho com \delta=\dfrac{F\,L}{A\,E}. Vou calcular com A=500\\ \text{mm}^2 e E=200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Chapa 1:
  • Trecho 0 600\\ \text{mm}: \delta_{1a}=\frac{46\,000\cdot600}{500\cdot200{,}000}.Calculemos: \delta_{1a}=\frac{27\,600\,000}{100\,000\,000}=0{,}276\\ \text{mm}.
  • Trecho 600 800\\ \text{mm} ( L=200\\ \text{mm}, F=46\,000/3): \delta_{1b}=\frac{\tfrac{46\,000}{3}\cdot200}{500\cdot200{,}000} =\frac{9\,200\,000/3}{100\,000\,000} =0{,}0306666\ldots\\ \text{mm}\approx0{,}03067\\ \text{mm}.
  • Total da chapa 1 ( 0 até 800\\ \text{mm}): \delta_{1}=\delta_{1a}+\delta_{1b}=0{,}276+0{,}0306667=0{,}3066667\\ \text{mm}.
Chapa 2 (idêntica à chapa 3; vamos calcular a contribuição da chapa 2 ao deslocamento quando seguimos um caminho contínuo A→B passando por ela):
  • Trecho 600 800\\ \text{mm} (sobreposição, F=46\,000/3, L=200\\ \text{mm}): \delta_{2a}=\delta_{1b}=0{,}0306667\\ \text{mm}.
  • Trecho 800 1600\\ \text{mm} ( L=800\\ \text{mm}, F=23\,000\\ \text{N}): \delta_{2b}=\frac{23\,000\cdot800}{500\cdot200{,}000} =\frac{18\,400\,000}{100\,000\,000}=0{,}184\\ \text{mm}.
  • Total da chapa 2 (de x=600 até x=1600): \delta_{2}=\delta_{2a}+\delta_{2b}=0{,}0306667+0{,}184=0{,}2146667\\ \text{mm}.
Chapa 3 tem os mesmos valores que a chapa 2, mas não precisamos somar a deformação de todas as chapas: devemos somar deformações ao longo de um caminho contínuo de A até B.

Passo 6

Escolher um caminho contínuo entre A e B e somar os alongamentos dos trechos ao longo desse caminho.
Um caminho natural: seguir pela chapa 1 de A até x=800\\ \text{mm} (fim da chapa 1), e dali seguir por uma das chapas que continua até B — por exemplo, chapa 2, de x=800 até x=1600\\ \text{mm}. Como as chapas estão soldadas nas regiões de sobreposição, a compatibilidade de deslocamento é garantida e o deslocamento total A em relação a B é a soma das deformações desses trechos.
Assim:
\delta_{A\to B}=\delta_{1\\ (\text{0→800})}+\delta_{2\\ (\text{800→1600})}.
Já temos \delta_1=0{,}3066667\\ \text{mm} e \delta_{2b}=0{,}184\\ \text{mm} (apenas o trecho 800 1600 da chapa 2).
Portanto
\delta_{A\to B}=0{,}3066667+0{,}184=0{,}4906667\\ \text{mm}.
Arredondando de forma razoável para três casas decimais:
\delta_{A\to B}\approx0{,}491\\ \text{mm}.

Resposta

0,491 mm

Exercícios relacionados