I^{2} Questão (3,5 pontos) -
A barra é de aço AB e conectada por pinos nas extremidades. (a) Supondo que a força \mathrm{P}=18 \mathrm{kN}, determine o fator de segurança com relação a flambagem. (b) Determine a máxima carga P para que não ocorra flambagem.
Sendo \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} e Tensão de escoamento =360 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos (peguei estes dados da figura enviada).
  • Pede (a) o fator de segurança contra flambagem quando a carga aplicada é P=18\\ \text{kN}; (b) a máxima carga P para que não ocorra flambagem.
  • Dados extraídos da imagem:
    • Comprimento da barra vertical AB: 6\\ \text{m} (peguei da figura).
    • Seção transversal: quadrada de 50\\ \text{mm}\times50\\ \text{mm} (peguei da figura).
    • Módulo de Young: E=200\\ \text{GPa} (dado).
    • Tensão de escoamento: \sigma_y=360\\ \text{MPa} (dado).
    • Carga aplicada: P=18\\ \text{kN} para a parte (a).
  • Observação sobre apoio/condição de contorno (importante para flambagem): a barra vertical está articulada em ambas as extremidades (pinos em A e B). Portanto a condição de contorno é pino-pino e o fator de comprimento efetivo é K=1.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida de flambagem de Euler).
  • Para colunas esbeltas com extremidades articuladas, a carga crítica de flambagem de Euler é dada por
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},
onde
  • P_{cr} é a carga crítica (N),
  • E é o módulo de Young (N/mm ^2),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem (mm ^4),
  • L é o comprimento da coluna (mm),
  • K é o fator de comprimento efetivo (adimensional): para pino-pino K=1.
  • O fator de segurança contra flambagem é simplesmente
\text{F.S.}=\frac{P_{cr}}{P_{aplicada}}.
  • Antes de aceitar que a falha será por flambagem, sempre convém comparar a tensão equivalente quando P=P_{cr} com a tensão de escoamento: se a tensão de compressão \sigma_{cr}=P_{cr}/A for menor que \sigma_y, então a coluna flambará antes de escoar (ou seja, Euler é o modo crítico). Se \sigma_{cr}\ge\sigma_y, a peça escoa antes de flambar e o critério de Euler não é aplicável diretamente.

Passo 3

Conversões de unidades e dados numéricos em forma útil.
  • Converter tudo para unidades consistentes (usarei N e mm):
    • E=200\\ \text{GPa}=200\;000\\ \text{N/mm}^2 (pois 1\\ \text{GPa}=1000\\ \text{N/mm}^2).
    • L=6\\ \text{m}=6000\\ \text{mm}.
    • Seção: b=h=50\\ \text{mm} \Rightarrow área A=50\cdot50=2500\\ \text{mm}^2.
    • Carga aplicada na parte (a): P=18\\ \text{kN}=18\;000\\ \text{N}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia I da seção quadrada (aula prática sobre I).
  • Para uma placa retangular com base b e altura h em torno de um eixo que passa pelo centro e é paralelo a b, o momento de inércia é
I=\frac{b h^3}{12}.
  • No caso do quadrado 50\times50\\ \text{mm},
I=\frac{50\cdot 50^3}{12}=\frac{50^4}{12}.
  • Calculemos numericamente:
50^4=6\,250\,000\quad\Rightarrow\quad I=\frac{6\,250\,000}{12}=520\,833{,}333\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Cálculo da carga crítica de Euler P_{cr} (passo a passo numérico).
  • Aplicando a fórmula de Euler com K=1 e L=6000\\ \text{mm}:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} =\frac{\pi^2\cdot(200\,000)\cdot(520\,833{,}333)}{(1\cdot6000)^2}.
  • Calculemos em etapas:
    • \pi^2\approx9{,}8696.
    • Numerador: 9{,}8696\cdot200\,000\cdot520\,833{,}333\approx1{,}028{,}083{,}333{,}000.
    • Denominador: (6000)^2=36\,000\,000.
    • Portanto
P_{cr}\approx\frac{1{,}028{,}083{,}333{,}000}{36\,000\,000}\approx28\,556{,}8\\ \text{N}.
  • Em kN:
P_{cr}\approx28{,}56\\ \text{kN}.

Passo 6

Cálculo do fator de segurança para P=18\\ \text{kN} (parte (a)).
  • Fórmula:
\text{F.S.}=\frac{P_{cr}}{P}=\frac{28\,556{,}8}{18\,000}\approx1{,}5865\approx1{,}59.
  • Interpretação curta e incentivo: ou seja, a coluna suporta cerca de 1{,}59 vezes a carga aplicada antes de flambear — não é uma folga enorme, mas também não é ridiculamente pequena. Vamos confirmar que realmente flambagem ocorre antes de escoamento.

Passo 7

Verificação comparando tensão crítica com tensão de escoamento (segurança mecânica).
  • Tensão associada à carga crítica:
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{28\,556{,}8}{2\,500}\approx11{,}4227\\ \text{N/mm}^2=11{,}423\\ \text{MPa}.
  • Como \sigma_{cr}=11{,}423\\ \text{MPa}\ll\sigma_y=360\\ \text{MPa}, a coluna vai flambear bem antes de atingir o escoamento. Logo o critério de Euler é o relevante aqui e o P_{cr} calculado é o limite de interesse.

Passo 8

Resposta da parte (b): máxima carga P para não ocorrer flambagem.
  • A máxima carga para evitar flambagem é P_{\max}=P_{cr}, portanto
P_{\max}\approx28{,}56\\ \text{kN}.

Resposta

\text{F.S.}\approx1{,}59
P_{\max}\approx28{,}56\\ \text{kN}

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