1. Problema 5-34 - O motor com engrenagem pode desenvolver 100 W quando gira a 300 rpm . Se o eixo tem um diâmetro de 12 m , determine a tensão máxima de cisalhamento que será desenvolvida no eixo. Resposta: \boldsymbol{\tau}_{\boldsymbol{\operatorname { m a x }}} \mathbf{9 . 3 8 2 M P a}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (listei exatamente o que está escrito e depois fiz uma pequena observação sobre a unidade do diâmetro):
  • Potência desenvolvida pelo motor: 100\\ \mathrm{W}.
  • Velocidade de rotação: 300\\ \mathrm{rpm}.
  • Diâmetro do eixo: o enunciado escreveu 12\\ \mathrm{m}.
    Observação: isso é muito improvável para um eixo de motor — provavelmente o enunciado quis dizer 12\\ \mathrm{mm}. Vou assumir 12\\ \mathrm{mm} porque a resposta indicada ( 9{,}382\\ \mathrm{MPa}) corresponde a essa suposição.
    O que o problema pede: determinar a tensão máxima de cisalhamento no eixo, isto é, \tau_{\max}.

Passo 2

Converter a velocidade de rotação para velocidade angular \omega (em rad/s). A relação entre rotação em rpm e \omega é
\omega = 2\pi\cdot\frac{n}{60},
onde:
  • n é a rotação em \mathrm{rpm},
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
Substituindo n = 300\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi\cdot\frac{300}{60} = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar o torque resistente T fornecido pelo motor a partir da potência. A relação potência- torque-velocidade angular é
P = T\omega,
onde:
  • P é a potência em \mathrm{W},
  • T é o torque em \mathrm{N\cdot m},
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
Isolando T:
T = \frac{P}{\omega}.
Agora substituir P = 100\\ \mathrm{W} e \omega = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}:
T = \frac{100}{10\pi}=\frac{10}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Se quiser um valor numérico aproximado:
T \approx \frac{10}{3{,}14159265}\approx 3{,}1831\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento por torção em um eixo circular maciço. Para um eixo circular submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento em uma distância radial r do centro é dada por
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento em Pa no raio r,
  • J é o momento de inércia polar da seção transversal (também chamado de segunda área polar) em \mathrm{m^4},
  • r é a coordenada radial (m), 0\le r\le c, com c sendo o raio exterior.
Para um eixo circular maciço de diâmetro d e raio c=\dfrac{d}{2}, o momento polar J vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície ( r=c), portanto
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Esta fórmula final
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}
é muito prática: basta inserir o torque T e o diâmetro d.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores numéricos. Aqui usamos d=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m} e T=\dfrac{10}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Primeiro calcule d^{3}:
d^{3}=(0{,}012)^{3}=1{,}728\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora calcule \tau_{\max} pela fórmula
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Substituindo T=\dfrac{10}{\pi}:
\tau_{\max}=\frac{16\cdot\left(\dfrac{10}{\pi}\right)}{\pi d^{3}}=\frac{160}{\pi^{2} d^{3}}.
Substituindo numericamente:
\tau_{\max}=\frac{160}{\pi^{2}\cdot 1{,}728\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Avaliar numericamente o resultado e converter para MPa (1 MPa = 10^{6}\\ \mathrm{Pa}). Fazendo a multiplicação/divisão (mostrando o valor aproximado):
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\qquad \pi^{2}d^{3}\approx 9{,}8696\times 1{,}728\times 10^{-6}\approx 1{,}7053\times 10^{-5}.
\tau_{\max}\approx \frac{160}{1{,}7053\times 10^{-5}}\\ \mathrm{Pa}\approx 9{,}3827\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
\tau_{\max}\approx 9{,}3827\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma razoável para três casas decimais:
\tau_{\max}\approx 9{,}382\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Checagem rápida (intuitiva): a fórmula combinada alternativa para este caso (substituindo T=P/\omega diretamente) é
\tau_{\max}=\frac{16}{\pi d^{3}}\cdot\frac{P}{\omega}.
Usando os valores dados isso retorna o mesmo número. Portanto o resultado está consistente com a resposta fornecida.

Resposta

\tau_{\max}=9{,}382\\ \mathrm{MPa}

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