- Problema 5-34 - O motor com engrenagem pode desenvolver 100 W quando gira a 300 rpm . Se o eixo tem um diâmetro de 12 m , determine a tensão máxima de cisalhamento que será desenvolvida no eixo. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (listei exatamente o que está escrito e depois fiz uma pequena observação sobre a unidade do diâmetro):
- Potência desenvolvida pelo motor:
. - Velocidade de rotação:
. - Diâmetro do eixo: o enunciado escreveu
.
Observação: isso é muito improvável para um eixo de motor — provavelmente o enunciado quis dizer. Vou assumir porque a resposta indicada ( ) corresponde a essa suposição.
O que o problema pede: determinar a tensão máxima de cisalhamento no eixo, isto é,.
Passo 2
Converter a velocidade de rotação para velocidade angular
(em rad/s). A relação entre rotação em rpm e
é
onde:
-
é a rotação em , -
é a velocidade angular em .
Substituindo
:
Passo 3
Determinar o torque resistente
fornecido pelo motor a partir da potência. A relação potência- torque-velocidade angular é
onde:
-
é a potência em , -
é o torque em , -
é a velocidade angular em .
Isolando
:
Agora substituir
e
:
Se quiser um valor numérico aproximado:
Passo 4
Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento por torção em um eixo circular maciço. Para um eixo circular submetido a um torque
, a tensão de cisalhamento em uma distância radial
do centro é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento em Pa no raio , -
é o momento de inércia polar da seção transversal (também chamado de segunda área polar) em , -
é a coordenada radial (m), , com sendo o raio exterior.
Para um eixo circular maciço de diâmetro
e raio
, o momento polar
vale
A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície (
), portanto
Esta fórmula final
é muito prática: basta inserir o torque
e o diâmetro
.
Passo 5
Aplicar a fórmula com os valores numéricos. Aqui usamos
e
.
Primeiro calcule
:
Agora calcule
pela fórmula
Substituindo
:
Substituindo numericamente:
Passo 6
Avaliar numericamente o resultado e converter para MPa (1 MPa =
). Fazendo a multiplicação/divisão (mostrando o valor aproximado):
Arredondando de forma razoável para três casas decimais:
Passo 7
Checagem rápida (intuitiva): a fórmula combinada alternativa para este caso (substituindo
diretamente) é
Usando os valores dados isso retorna o mesmo número. Portanto o resultado está consistente com a resposta fornecida.