1^{\text {a }} Questão (3,0)
Determine por integração direta o momento de inercia da superfície em relação ao eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar por integração direta o momento de inércia da superfície (segundo momento de área) em relação ao eixo x.
Informações dadas (retiradas do enunciado/figura):
  • A região é limitada superiormente por \,y_2(x)=k_2 x^{1/2}\, e inferiormente por \,y_1(x)=k_1 x^2\,.
  • As curvas se encontram em x=a num ponto cuja ordenada vale b, ou seja \,y_1(a)=y_2(a)=b.
  • O intervalo em x é de 0 até a.
  • Deve-se calcular o momento de inércia da área em relação ao eixo x.

Passo 2

Definição que vamos usar: o momento de inércia da área em relação ao eixo x é
I_x=\iint_{\text{área}} y^{2}\,dA.á
Explicando: cada elemento de área dA localizado a uma distância y do eixo x contribui com y^2\,dA para o momento de inércia; somando (integrando) sobre toda a área obtém-se I_x.

Passo 3

Escolha do elemento de integração: usamos tiras verticais (descritas por x fixo), porque as fronteiras superior e inferior estão dadas como funções y(x).
Para uma tira vertical em abscissa x com espessura dx, a altura é
h(x)=y_2(x)-y_1(x).
O elemento de área é
dA=h(x)\,dx=\bigl(y_2(x)-y_1(x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Cálculo da contribuição de uma única tira ao momento de inércia. Dentro da tira, o elemento de área vale dA=y\,dy\cdot 1 por unidade de largura, portanto a contribuição da tira é
dI_x=\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} y^{2}\,dy\right)\,dx.
Avalia-se a integral em y:
\int_{y_1}^{y_2} y^{2}\,dy=\frac{1}{3}\bigl(y_2^{3}-y_1^{3}\bigr).
Logo, integrar sobre x
I_x=\int_{0}^{a}\frac{1}{3}\bigl(y_2^{3}(x)-y_1^{3}(x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Substituir as funções dadas \,y_2(x)=k_2 x^{1/2}\, e \,y_1(x)=k_1 x^2\,. Calcula-se as potências:
y_2^{3}(x)=k_2^{3} x^{3/2},\qquad y_1^{3}(x)=k_1^{3} x^{6}.
Então
I_x=\frac{1}{3}\int_{0}^{a}\bigl(k_2^{3} x^{3/2}-k_1^{3} x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular as integrais termo a termo. Usamos \int x^{3/2}\,dx=\dfrac{2}{5}x^{5/2} e \int x^{6}\,dx=\dfrac{1}{7}x^{7}. Assim
I_x=\frac{1}{3}\left[k_2^{3}\cdot\frac{2}{5}a^{5/2}-k_1^{3}\cdot\frac{1}{7}a^{7}\right].
Simplificando:
I_x=\frac{2}{15}\,k_2^{3}a^{5/2}-\frac{1}{21}\,k_1^{3}a^{7}.

Passo 7

Usar a condição de encontro das curvas em x=a: \,y_1(a)=y_2(a)=b. Portanto
k_1 a^{2}=b \quad\Rightarrow\quad k_1=\frac{b}{a^{2}},
k_2 a^{1/2}=b \quad\Rightarrow\quad k_2=\frac{b}{a^{1/2}}.
Elevando ao cubo:
k_1^{3}=\frac{b^{3}}{a^{6}},\qquad k_2^{3}=\frac{b^{3}}{a^{3/2}}.

Passo 8

Substituir k_1^{3} e k_2^{3} na expressão de I_x:
I_x=\frac{2}{15}\cdot\frac{b^{3}}{a^{3/2}}\;a^{5/2}-\frac{1}{21}\cdot\frac{b^{3}}{a^{6}}\;a^{7}.
Simplificando as potências de a:
I_x=\frac{2}{15}\,b^{3}a-\frac{1}{21}\,b^{3}a = b^{3}a\left(\frac{2}{15}-\frac{1}{21}\right).
Calcular a diferença:
\frac{2}{15}-\frac{1}{21}=\frac{14-5}{105}=\frac{9}{105}=\frac{3}{35}.
Portanto
I_x=\frac{3}{35}\,a\,b^{3}.

Passo 9

Checagem rápida de unidade: a tem dimensão de comprimento e b também, então a b^{3} tem dimensão L^{4}, compatível com o momento de inércia de área. Tudo consistente.

Resposta

I_x=\frac{3}{35}\,a\,b^{3}

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