Questão
Determine por integração direta o momento de inercia da superfície em relação ao eixo
.
Determine por integração direta o momento de inercia da superfície em relação ao eixo
Passo 1
O enunciado pede: determinar por integração direta o momento de inércia da superfície (segundo momento de área) em relação ao eixo
.
Informações dadas (retiradas do enunciado/figura):
- A região é limitada superiormente por
e inferiormente por . - As curvas se encontram em
num ponto cuja ordenada vale , ou seja . - O intervalo em
é de até . - Deve-se calcular o momento de inércia da área em relação ao eixo
.
Passo 2
Definição que vamos usar: o momento de inércia da área em relação ao eixo
é
Explicando: cada elemento de área
localizado a uma distância
do eixo
contribui com
para o momento de inércia; somando (integrando) sobre toda a área obtém-se
.
Passo 3
Escolha do elemento de integração: usamos tiras verticais (descritas por
fixo), porque as fronteiras superior e inferior estão dadas como funções
.
Para uma tira vertical em abscissa com espessura
, a altura é
Para uma tira vertical em abscissa
O elemento de área é
Passo 4
Cálculo da contribuição de uma única tira ao momento de inércia. Dentro da tira, o elemento de área vale
por unidade de largura, portanto a contribuição da tira é
Avalia-se a integral em
:
Logo, integrar sobre
dá
Passo 5
Substituir as funções dadas
e
. Calcula-se as potências:
Então
Passo 6
Calcular as integrais termo a termo. Usamos
e
. Assim
Simplificando:
Passo 7
Usar a condição de encontro das curvas em
:
. Portanto
Elevando ao cubo:
Passo 8
Substituir
e
na expressão de
:
Simplificando as potências de
:
Calcular a diferença:
Portanto
Passo 9
Checagem rápida de unidade:
tem dimensão de comprimento e
também, então
tem dimensão
, compatível com o momento de inércia de área. Tudo consistente.