13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y, z)=e^{y z} \mathbf{i}+x z e^{y z} \mathbf{j}+x y e^{y z} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=e^{y z}\,\mathbf{i}+x z e^{y z}\,\mathbf{j}+x y e^{y z}\,\mathbf{k} é conservativo ou não.
Se for conservativo, encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Informações dadas (peguei direto do enunciado):
Componente x (chamarei de P): P(x,y,z)=e^{y z}.
Componente y (chamarei de Q): Q(x,y,z)=x z e^{y z}.
Componente z (chamarei de R): R(x,y,z)=x y e^{y z}.
Passo 2
O procedimento básico (explicando a ideia): para um campo vetorial suave em \mathbb{R}^3 normalmente checamos se o rotacional (\nabla\times\mathbf{F}) é o vetor nulo. Se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e o domínio do campo for simplesmente conexo (aqui é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo), então o campo é conservativo e existe uma função potencial f com \nabla f=\mathbf{F}. Vou aplicar exatamente esse teste. Antes, escrevo a fórmula do rotacional e explico cada parte:
Para \dfrac{d}{dy}\bigl(y e^{y z}\bigr) uso a regra do produto: \dfrac{d}{dy}(y)\cdot e^{y z} + y\cdot \dfrac{d}{dy}(e^{y z}).
A derivada de e^{y z} em relação a y é z e^{y z}. Logo
\frac{\partial R}{\partial y} = x\bigl(e^{y z} + y z e^{y z}\bigr) = x e^{y z}\bigl(1+y z\bigr).
Passo 4
Agora \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Como Q(x,y,z)=x z e^{y z}, trato x como constante e diferencio em relação a z:
Além disso, o campo está definido e é suave em todo \mathbb{R}^3, cujo domínio é simplesmente conexo. Portanto, por teorema padrão, \mathbf{F} é conservativo — existe uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.
Passo 8
Agora vamos encontrar f. Método prático: integrar a primeira componente P em relação a x e depois ajustar com funções “de integração” das outras variáveis.
Integro P(x,y,z)=e^{y z} em relação a x:
f(x,y,z)=\int e^{y z}\,dx = x e^{y z} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária de y e z (pois ao derivar em relação a x desapareceria).
Passo 9
Determino g impondo que \partial f/\partial y = Q. Calculo \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y z}\bigr) + \frac{\partial g}{\partial y} = x z e^{y z} + g_y(y,z).
Como essa derivada deve ser igual a Q(x,y,z)=x z e^{y z}, segue que
g_y(y,z)=0.
Portanto g não depende de y; logo g(y,z)=h(z) para alguma função h apenas de z.
Passo 10
Agora uso a condição \partial f/\partial z = R. Calculo \partial f/\partial z com f(x,y,z)=x e^{y z}+h(z):
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y z}\bigr) + h'(z) = x y e^{y z} + h'(z).
Isso deve ser igual a R(x,y,z)=x y e^{y z}. Logo
h'(z)=0,
o que implica que h é constante. Denotando a constante por C, obtemos
f(x,y,z)=x e^{y z}+C.
Passo 11
Verificação rápida (sanity check): calcule \nabla f para f(x,y,z)=x e^{y z}+C:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y z}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x z e^{y z}=Q,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{y z}=R.