*12.24. No instante t=0 uma bala A deixa o cano de uma arma a uma velocidade de 450 m / s, verticalmente para cima. Quando t=3 s, uma bala B é disparada para cima com velocidade de 600 m / s. Determine o tempo t, após o primeiro disparo, em que B alcança A. Em que altitude isso ocorre?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é bem simples: no instante t=0 a bala A é disparada pra cima com velocidade inicial 450,m/s, e no instante t=3,s a bala B é disparada pra cima com 600,m/s. A gente quer saber em que tempo t (contando desde o primeiro disparo) a B alcança a A, e a que altura isso acontece. O conteúdo é cinemática do movimento uniformemente variado (MUV) na vertical, com aceleração da gravidade g=9,8,m/s ^2. Vamos usar a fórmula da posição y(t) para cada bala e igualar pra achar o instante de encontro.

Passo 2

Primeiro, escrevemos yA(t), a posição da bala A para t>=0:
yA(t)=v0A,t-12,g,t^2 com;v0A=450 m/s
Para a bala B, que só sai no instante t=3,s, definimos tau=t-3 como o tempo de voo de B. Então, para t>=3,
yB(t)=v0B,tau-12,g,tau^2 =600,(t-3)-12cdot9,8,(t-3)^2

Passo 3

Agora a condição de encontro é yA(t)=yB(t) para t>=3. Ou seja:
450,t-tfrac12cdot9,8,t^2 ;=; 600,(t-3)-tfrac12cdot9,8,(t-3)^2
Simplificando e cancelando os termos em t^2, sobra:
$$
450,t

629{,}4,t-1844{,}1
\quad\Longrightarrow\quad
-179{,}4,t=-1844{,}1
\quad\Longrightarrow\quad
t=\frac{1844{,}1}{179{,}4}\approx10{,}28\ s.
$$

Passo 4

Basta agora achar a altura em que isso acontece, usando yA(t) ou yB(t). Usando yA(t):
y(10,28)=450cdot10,28-12cdot9,8,(10,28)^2 approx4626-517,8approx4108 m

Resposta

A bala B alcança a bala A aproximadamente em t=10,28,s após o primeiro disparo, numa altura de cerca de 4108,m.

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