Um ponto material tem movimento retilíneo, com aceleração a=-k s, onde s é a distância_do ponto material ao ponto de partida e k é uma constante de proporcionalidade a ser determinada. Para s=2 pés a velocidade é de 4 pés/s e para s=3,5 pés a velocidade é de 10 pés/s. Qual é o valor de s quando v=0 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um móvel faz movimento retilíneo com aceleração
a = -k,s,
onde é a distância ao ponto de partida e é uma constante a achar.
Sabemos que:
  • quando pés, pés/s
  • quando pés, pés/s
    O objetivo é descobrir para que valor de a velocidade zera.
    Conteúdo envolvido: uso da relação , regra da cadeia e integração para achar uma “constante de energia” do tipo .

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia:
a = dvdt = dvds,dsdt = v,dvds
Como v,dvds = -k,s , temos

Passo 3

Integramos em relação a integral v,dv ;=;integral -k,s,ds longrightarrow 12v^2 = -k2s^2 + C :
v^2 + k,s^2 = C (constante)
Multiplicando tudo por 2, dá

Passo 4

Agora aplicamos as duas condições para determinar 4^2 + k,(2)^2 = C Longrightarrow 16 + 4k = C e 10^2 + k,(3,5)^2 = C Longrightarrow 100 + 12,25,k = C .
  1. Para 16 + 4k = 100 + 12,25,k ;Longrightarrow; 4k - 12,25k = 100 - 16 ;Longrightarrow; -8,25,k = 84 ;Longrightarrow; k = -tfrac848,25 approx -10,18 , :
  1. Para , :
Igualando as duas expressões de :

Passo 5

Já com v^2 + k,s^2 = C Longrightarrow 0 + k,s^2 = C em mãos, voltamos à equação da constante para achar s^2 = Ck = 16 + 4kk = 16 + 4(-10,18)-10,18 = 16 - 40,72-10,18 = -24,72-10,18 approx 2,4286 quando s approx raiz2,4286 approx 1,56 pés :
E sabemos que . Logo
Tomando raiz:
é

Resposta

O valor de quando é aproximadamente pés.

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