-12.27. Um projétil, inicialmente na origem, move-se verticalmente para baixo ao longo de uma trajetória retilínea, através de um meio fluido tal que sua velocidade é definida por v=3(8 e^-t+t)^1 / 2 m / s, onde t é dado em segundos. Construa o gráfico da posição s do projétil durante os primeiros 2 s . Use o método de Runge-Kutta para calcular s com incrementos de h=0,25 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dsdt = v(t) = 3raiz8e^-t + t,
com condição inicial s(0) = 0.
O conteúdo aqui é integração numérica de uma ODE via método de Runge–Kutta de quarta ordem.
Queremos aproximar s(t) em 0 <= t <= 2 usando passo h = 0,25,s.

Passo 2

No método de Runge–Kutta de 4ª ordem, partindo de (tn,sn), definimos
k1&=h,f(tn), k2&=h,fl(tn+tfrac h2r), k3&=h,fl(tn+tfrac h2r), k4&=h,f(tn+h),
onde f(t)=3raiz8e^-t+t.
Em seguida atualizamos
sn+1=sn+k1+2k2+2k3+k46, tn+1=tn+h

Passo 3

Agora aplicamos recursivamente com h=0,25. Abaixo estão os valores aproximados de sn:
c|c tn (s) & sn (m)hline 0,00 & 0,000 0,25 & 2,012 0,50 & 3,831 0,75 & 5,494 1,00 & 7,034 1,25 & 8,483 1,50 & 9,865 1,75 & 11,208 2,00 & 12,530

Passo 4

Para construir o gráfico de s em função de t, basta plotar esses pontos l(tn,snr) no plano e unir por uma curva suave. O resultado é uma curva crescente e levemente côncava para baixo, mostrando o projétil descendo cada vez mais devagar.

Resposta

Os pontos aproximados (t,s) são:
& (0,00,,0,000),;(0,25,,2,012),;(0,50,,3,831),;(0,75,,5,494), & (1,00,,7,034),;(1,25,,8,483),;(1,50,,9,865),;(1,75,,11,208),;(2,00,,12,530)
Plotando e ligando esses pontos, obtemos o gráfico de s(t) nos primeiros 2,s.

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