Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se
, obtenha
; (b)se
, obtenha
.
.
Passo 1
Temos as funções
Vamos:
- Determinar o domínio e a imagem de
e de . - Esboçar o gráfico de cada uma.
- (a) Verificar se
e, em caso afirmativo, obter . - (b) Verificar se
e, em caso afirmativo, obter .
Passo 2
Para
precisamos de
. Logo
Como
varia em
, o valor de
varia em
e sua raiz em
. Assim
Passo 3
Para
não há restrição no radicando nem divisão, é polinomial. Portanto
Passo 4
Esboço de gráfico:
-
: é o gráfico de com . Começa em e, ao diminuir , cresce sem limite. É a “metade” superior de uma parábola aberta para cima, refletida horizontalmente e deslocada. -
: é uma reta de coeficiente angular e intercepto em . Passa por e sobe 2 unidades em para cada 1 em .
Passo 5
(a) Queremos ver se
. Mas
e
. Logo
não está definido para todo
.
Porém podemos achar o domínio natural de via
Porém podemos achar o domínio natural de
Nesse domínio temos
Passo 6
(b) Queremos ver se
. Como
a composição
está bem definida em todo domínio de
, que é
. Calculamos
Resposta
Domínios e imagens:
Gráficos:
-
: ramo de raiz quadrada invertido horizontalmente, partindo de . -
: reta de coeficiente angular e intercepto .
(a), mas em
definimos
(b)
, e em