Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se Img subset Domf, obtenha f circ g; (b)se Imf subset Domg, obtenha g circ f.
f(x)=raiz1-x, g(x)=2x+4.

Passo 1

Temos as funções
f(x)=raiz1-x, g(x)=2x+4
Vamos:
  1. Determinar o domínio e a imagem de f e de g.
  2. Esboçar o gráfico de cada uma.
  3. (a) Verificar se Im,gsubset Dom,f e, em caso afirmativo, obter fcirc g.
  4. (b) Verificar se Im,fsubset Dom,g e, em caso afirmativo, obter gcirc f.

Passo 2

Para f(x)=raiz1-x precisamos de 1-x>=0. Logo
Dom,f=xmid x<=1=(-infty,1]
Como x varia em (-infty,1], o valor de 1-x varia em [0,infty) e sua raiz em [0,infty). Assim
Im,f=[0,infty)

Passo 3

Para g(x)=2x+4 não há restrição no radicando nem divisão, é polinomial. Portanto
Dom,g= R, Im,g= R

Passo 4

Esboço de gráfico:
  • f: é o gráfico de y=raizu com u=1-x. Começa em (1,0) e, ao diminuir x, cresce sem limite. É a “metade” superior de uma parábola aberta para cima, refletida horizontalmente e deslocada.
  • g: é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto em y=4. Passa por (0,4) e sobe 2 unidades em y para cada 1 em x.

Passo 5

(a) Queremos ver se Im,gsubsetDom,f. Mas
Im,g= Re Dom,f=(-infty,1],
e Rnotsubset(-infty,1]. Logo fcirc g não está definido para todo R.
Porém podemos achar o domínio natural de fcirc g via
xinDom,gmid g(x)inDom,f Longrightarrow 2x+4<=1
2x<=-3 Longrightarrow x<=-32
Nesse domínio temos
(fcirc g)(x) =raiz,1-(2x+4), =raiz-2x-3, x<= -tfrac32

Passo 6

(b) Queremos ver se Im,fsubsetDom,g. Como
Im,f=[0,infty)subset R=Dom,g,
a composição gcirc f está bem definida em todo domínio de f, que é (-infty,1]. Calculamos
(gcirc f)(x) = gl(raiz1-xr) =2raiz1-x+4, x<=1

Resposta

Domínios e imagens:
Dom,f=(-infty,1], Im,f=[0,infty), Dom,g= R, Im,g= R
Gráficos:
  • f: ramo de raiz quadrada invertido horizontalmente, partindo de (1,0).
  • g: reta de coeficiente angular 2 e intercepto 4.
    (a) Im,gnotsubsetDom,f, mas em
    xmid x<=-3/2 definimos
(fcirc g)(x)=raiz-2x-3
(b) Im,fsubsetDom,g, e em (-infty,1]
(gcirc f)(x)=2raiz1-x+4

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