Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se
, obtenha
; (b)se
, obtenha
.
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais
e
.
Pede-se (i) domínio e imagem de cada uma, (ii) esboço dos gráficos, (iii) se a imagem de está contida no domínio de
, obter
, e (iv) se a imagem de
está contida no domínio de
, obter
.
Pede-se (i) domínio e imagem de cada uma, (ii) esboço dos gráficos, (iii) se a imagem de
Passo 2
Domínio de
: o denominador não pode ser zero, então
Logo
Domínio de
: é polinomial, não há restrição, então
Passo 3
Imagem de
: seja
. Resolvendo para
dá
o que existe para qualquer
. Assim
Imagem de
: é reta de coeficiente
, logo assume todo valor real,
Passo 4
Esboço do gráfico de
: é uma hipérbole com assíntotas vertical
e horizontal
. Para
,
; para
,
.
Esboço do gráfico de : é a reta de inclinação
e intercepto
, ou seja, passa por
e tem
de inclinação.
Esboço do gráfico de
Passo 5
Verificamos se
:
e
.
Como mas não está em
, a inclusão falha.
Ainda assim podemos definir
Como
Ainda assim podemos definir
isto é,
e
Passo 6
Verificamos se
:
e
.
Aqui a inclusão vale, pois todo valor não nulo está em .
Logo existe para todo
e
Aqui a inclusão vale, pois todo valor não nulo está em
Logo
Resposta
Domínio e imagem:
,
;
,
.
Gráficos:
é hipérbole com assíntotas
,
.
é reta de coeficiente
e intercepto
.
(a)
, portanto
só está definido em
, com
(b)
, logo