Obtenha o domínio, a imagem, esboce o gráfico e (a) se Img subset Domf, obtenha f circ g; (b)se Imf subset Domg, obtenha g circ f.
f(x)=12x+1, g(x)=x+2.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais
f(x)=12x+1 e g(x)=x+2.
Pede-se (i) domínio e imagem de cada uma, (ii) esboço dos gráficos, (iii) se a imagem de g está contida no domínio de f, obter fcirc g, e (iv) se a imagem de f está contida no domínio de g, obter gcirc f.

Passo 2

Domínio de f: o denominador não pode ser zero, então
2x+1neq0Longrightarrow xneq -tfrac12
Logo
Dom,f= Rsetminusl-tfrac12r
Domínio de g: é polinomial, não há restrição, então
Dom,g= R

Passo 3

Imagem de f: seja y=12x+1. Resolvendo para x
x=1/y-12=1-y2y,
o que existe para qualquer yneq0. Assim
Im,f= Rsetminus0
Imagem de g: é reta de coeficiente 1, logo assume todo valor real,
Im,g= R

Passo 4

Esboço do gráfico de f: é uma hipérbole com assíntotas vertical x=-tfrac12 e horizontal y=0. Para xto-1/2^pm, f(x)topminfty; para lvert xrverttoinfty, f(x)to0.
Esboço do gráfico de g: é a reta de inclinação 1 e intercepto 2, ou seja, passa por (0,2) e tem 45circ de inclinação.

Passo 5

Verificamos se Im,gsubsetDom,f:
Im,g= R e Dom,f= Rsetminus-tfrac12.
Como -tfrac12in R mas não está em Dom,f, a inclusão falha.
Ainda assim podemos definir
fcirc g;:;xin Rmid g(x)neq -tfrac12;longrightarrow; R,
isto é,
Dom(fcirc g)= Rsetminus-tfrac52,
e
fl(g(x)r) =12(x+2)+1 =12x+5

Passo 6

Verificamos se Im,fsubsetDom,g:
Im,f= Rsetminus0 e Dom,g= R.
Aqui a inclusão vale, pois todo valor não nulo está em R.
Logo gcirc f existe para todo xinDom,f= Rsetminus-tfrac12 e
gl(f(x)r) =12x+1+2 =1+2(2x+1)2x+1 =4x+32x+1

Resposta

Domínio e imagem:
Dom,f= Rsetminus-tfrac12,
Im,f= Rsetminus0;
Dom,g= R,
Im,g= R.
Gráficos:
f é hipérbole com assíntotas x=-tfrac12, y=0.
g é reta de coeficiente 1 e intercepto 2.
(a) Im,gnotsubsetDom,f, portanto fcirc g só está definido em xneq-tfrac52, com
f(g(x))=12x+5
(b) Im,fsubsetDom,g, logo
g(f(x))=4x+32x+1, xneq -tfrac12

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