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Vamos resolver o limite:
\lim _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln (n)]
\_\_\_\_
Passo 1: Simplificar o argumento do limite
Usando a propriedade dos logaritmos:
\ln (n+1)-\ln (n)=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (1-
Então o limite fica:
\lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} n\big[\ln(n+1)-\ln(n)\big].
  • Usamos a propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão dada: \ln(n+1)-\ln(n)=\ln\!\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right).
  • Portanto a expressão do limite que vamos avaliar é \displaystyle \lim_{n\to\infty} n\cdot \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right).

Passo 2

Mudança de variável para ver o comportamento quando o argumento do log tende a zero.
  • Seja x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^+.
  • Reescrevendo o limite em x fica:
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x}.
Agora o problema é calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 3

Estratégia escolhida: usar desigualdades elementares (teorema do confronto) para \ln(1+x). Isso é simples e não exige série ou L’Hôpital.
  • Primeiro, mostro que \ln(1+x)\le x para todo x>-1.
    • Considere f(x)=\ln(1+x)-x. Então f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=-\dfrac{x}{1+x}.
    • Para x>-1 temos f'(x)\le 0, logo f é decrescente. Como f(0)=0, para x\ge0 segue f(x)\le0, isto é \ln(1+x)\le x.
  • Agora mostro uma desigualdade inferior: \ln(1+x)\ge \dfrac{x}{1+x} para x>-1.
    • Considere g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}. Então
    g'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}.
    • Para x\ge0 temos g'(x)\ge0, logo g é crescente e com g(0)=0 resulta g(x)\ge0, isto é \ln(1+x)\ge\dfrac{x}{1+x}.

Passo 4

Aplicar o teorema do confronto dividindo as desigualdades por x>0.
  • Das desigualdades obtidas temos, para x>0,
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x.
  • Dividindo tudo por x (que é positivo quando x\to0^+) obtemos
\frac{1}{1+x}\le \frac{\ln(1+x)}{x}\le 1.

Passo 5

Tomar o limite em cada lado e concluir pelo confronto.
  • Quando x\to 0^+, a função \dfrac{1}{1+x} tende a 1. Então pelos limites nas três partes:
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1+x}=1,\qquad \lim_{x\to 0^+}1=1.
  • Pelo teorema do confronto segue
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 6

Retornar à variável original n e afirmar a resposta do limite pedido.
  • Como reescrevemos o limite original como \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x} e esse limite vale 1, segue que
\lim_{n\to\infty} n\big[\ln(n+1)-\ln(n)\big]=1.

Passo 7

Observação alternativa curta (útil como checagem): usar a expansão em série de Taylor.
  • Para x pequeno vale \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2). Com x=\dfrac{1}{n} isso dá \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+o\!\left(\dfrac{1}{n^2}\right).
  • Multiplicando por n resulta n\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1-\dfrac{1}{2n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\to 1, conforme obtido antes.

Resposta

1

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