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Vamos resolver o limite:
Passo 1: Simplificar o argumento do limite
Usando a propriedade dos logaritmos:
Então o limite fica:
Passo 1: Simplificar o argumento do limite
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos:
- Pede calcular o limite
. - Usamos a propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão dada:
. - Portanto a expressão do limite que vamos avaliar é
.
Passo 2
Mudança de variável para ver o comportamento quando o argumento do log tende a zero.
- Seja
. Quando temos . - Reescrevendo o limite em
fica:
Agora o problema é calcular
.
Passo 3
Estratégia escolhida: usar desigualdades elementares (teorema do confronto) para
. Isso é simples e não exige série ou L’Hôpital.
- Primeiro, mostro que
para todo . - Considere
. Então . - Para
temos , logo é decrescente. Como , para segue , isto é .
- Considere
- Agora mostro uma desigualdade inferior:
para . - Considere
. Então
- Para
temos , logo é crescente e com resulta , isto é .
- Considere
Passo 4
Aplicar o teorema do confronto dividindo as desigualdades por
.
- Das desigualdades obtidas temos, para
,
- Dividindo tudo por
(que é positivo quando ) obtemos
Passo 5
Tomar o limite em cada lado e concluir pelo confronto.
- Quando
, a função tende a . Então pelos limites nas três partes:
- Pelo teorema do confronto segue
Passo 6
Retornar à variável original
e afirmar a resposta do limite pedido.
- Como reescrevemos o limite original como
e esse limite vale , segue que
Passo 7
Observação alternativa curta (útil como checagem): usar a expansão em série de Taylor.
- Para
pequeno vale . Com isso dá . - Multiplicando por
resulta , conforme obtido antes.