Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
x y^{\prime}=x^{2} \sqrt{y};,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' = x^{2}\sqrt{y}
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Aqui vou entender “solução trivial” como a função identicamente nula
y(x)\equiv 0
definida em algum intervalo. Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y=y(x).
  • A presença de \sqrt{y} exige y(x)\ge 0 onde a equação for avaliada.
  • A equação é escrita multiplicando y' por x; isso pode tornar o ponto x=0 especial (porque dividir por x só faz sentido se x\neq 0).
    A partir daqui vou testar se y\equiv 0 satisfaz a equação e discutir consequências (existência de outras soluções, unicidade).

Passo 2

Teste direto da solução y\equiv 0. Se y(x)\equiv 0 então sua derivada é y'(x)=0 para todo x. Substituindo na equação:
LHS: x\,y' = x\cdot 0 = 0.
RHS: x^{2}\sqrt{y} = x^{2}\sqrt{0} = x^{2}\cdot 0 = 0.
Como LHS = RHS (ambos zero) para todo x, a igualdade é verificada ponto a ponto.

Passo 3

Verificação das hipóteses de validade: \sqrt{y} deve ser real e bem definida. Para y\equiv 0 temos \sqrt{y}=0, que é bem definido e não causa problema. A derivada de uma constante existe e vale zero. Portanto y\equiv 0 cumpre todas as condições para ser solução (inclusive em x=0): não há indeterminação no produto x\cdot y' nem na raiz, ambos são zero em x=0.

Passo 4

Conclusão parcial: y\equiv 0 é de fato uma solução da equação diferencial; portanto a equação possui solução trivial.

Passo 5

Para aprendizado: resolvendo a equação quando x\neq 0 e y>0 (caso geral), podemos dividi-la por x e obter a forma separável
y' = x\sqrt{y}.
Separando variáveis:
\frac{dy}{\sqrt{y}} = x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\int y^{-1/2}\,dy = \int x\,dx
2\sqrt{y} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante. Isolando,
\sqrt{y} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{2},
e, ao elevar ao quadrado,
y(x) =\left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{2}\right)^{2}.
Observação: esse procedimento dividiu por \sqrt{y}, portanto excluiu possíveis soluções que fazem \sqrt{y}=0 (ou seja, y=0). Logo a família acima não captura a solução trivial y\equiv 0; esta é uma solução “singular” que foi perdida ao dividir por \sqrt{y}.

Passo 6

Comentário sobre unicidade (útil na prova): para uma condição inicial do tipo y(x_{0})=0 pode haver não unicidade. Por exemplo, fixando a\ge 0 e tomando a constante C tal que 2\sqrt{y}= \tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{a^{2}}{2} (ou seja C=-\tfrac{a^{2}}{2}), obtém-se a solução não trivial para x com |x|\ge a:
\sqrt{y}=\frac{x^{2}-a^{2}}{4},\qquad y=\left(\frac{x^{2}-a^{2}}{4}\right)^{2}.
Então a função definida por
  • y(x)=0 para |x|\le a,
  • y(x)=\left(\dfrac{x^{2}-a^{2}}{4}\right)^{2} para |x|>a,
    é uma solução C^{1} que coincide com y\equiv 0 em [-a,a] e depois “descola” para uma solução não nula. Isso mostra que a solução trivial pode coexistir com outras soluções que passam por pontos onde y=0; a falta de Lipschitz em y (devida a \sqrt{y}) explica a não unicidade.

Resposta

Sim: y\equiv 0 é solução trivial.

Exercícios relacionados