Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
;,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Aqui vou entender “solução trivial” como a função identicamente nula
definida em algum intervalo. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
. - A presença de
exige onde a equação for avaliada. - A equação é escrita multiplicando
por ; isso pode tornar o ponto especial (porque dividir por só faz sentido se ).
A partir daqui vou testar sesatisfaz a equação e discutir consequências (existência de outras soluções, unicidade).
Passo 2
Teste direto da solução
. Se
então sua derivada é
para todo
. Substituindo na equação:
LHS: .
RHS: .
Como LHS = RHS (ambos zero) para todo , a igualdade é verificada ponto a ponto.
LHS:
RHS:
Como LHS = RHS (ambos zero) para todo
Passo 3
Verificação das hipóteses de validade:
deve ser real e bem definida. Para
temos
, que é bem definido e não causa problema. A derivada de uma constante existe e vale zero. Portanto
cumpre todas as condições para ser solução (inclusive em
): não há indeterminação no produto
nem na raiz, ambos são zero em
.
Passo 4
Conclusão parcial:
é de fato uma solução da equação diferencial; portanto a equação possui solução trivial.
Passo 5
Para aprendizado: resolvendo a equação quando
e
(caso geral), podemos dividi-la por
e obter a forma separável
Separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Isolando,
e, ao elevar ao quadrado,
Observação: esse procedimento dividiu por
, portanto excluiu possíveis soluções que fazem
(ou seja,
). Logo a família acima não captura a solução trivial
; esta é uma solução “singular” que foi perdida ao dividir por
.
Passo 6
Comentário sobre unicidade (útil na prova): para uma condição inicial do tipo
pode haver não unicidade. Por exemplo, fixando
e tomando a constante
tal que
(ou seja
), obtém-se a solução não trivial para
com
:
Então a função definida por
-
para , -
para ,
é uma soluçãoque coincide com em e depois “descola” para uma solução não nula. Isso mostra que a solução trivial pode coexistir com outras soluções que passam por pontos onde ; a falta de Lipschitz em (devida a ) explica a não unicidade.
Resposta
Sim:
é solução trivial.