Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Vou listar o que isso significa e as informações importantes:
- A equação envolve a derivada terceira de
, . - O coeficiente multiplicando
é . Logo a equação não está definida em ; o domínio relevante é . - A pergunta é: a função identicamente nula
(a chamada solução trivial) satisfaz a equação?
Passo 2
O que é “solução trivial” aqui? Por convenção em equações diferenciais lineares, a solução trivial é a função que vale zero para todo
do domínio, isto é
. Para checar se essa função é solução, basta substituí-la na equação dada e verificar se a igualdade é verdadeira para todos
do domínio.
Passo 3
Substituindo
na equação:
- Se
então . - A equação vira
ou seja
que é uma contradição. Essa igualdade é falsa para todo
(inclusive não faz sentido em
, mas a contradição aparece já para qualquer
).
Passo 4
Explicação alternativa e reforço (opcional, para ver o porquê de forma mais estrutural): para
a equação é equivalente a
Integrando sucessivamente (explicando cada passo):
- Integrando uma vez,
pois
.
- Integrando de novo,
pois
.
- Integrando pela terceira vez e calculando
por partes (ou usando fórmula pronta),
onde
são constantes arbitrárias. Observe que todo membro desta família de soluções contém o termo
, que não é uma função polinomial; não existe escolha de
que anule esse termo para todo
. Portanto não há como obter a função identicamente zero a partir desta família — confirmando que não existe solução trivial.
Passo 5
Conclusão lógica direta e amigável: testar
dá uma contradição
, e a forma geral das soluções contém um termo
que impede anular a solução por escolha de constantes. Logo, a equação não possui solução trivial.
Resposta
Não — a solução trivial
não satisfaz a equação.