Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
x y^{\prime \prime \prime}+1=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y^{\prime\prime\prime}+1=0
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Vou listar o que isso significa e as informações importantes:
  • A equação envolve a derivada terceira de y, y^{\prime\prime\prime}.
  • O coeficiente multiplicando y^{\prime\prime\prime} é x. Logo a equação não está definida em x=0; o domínio relevante é x\neq 0.
  • A pergunta é: a função identicamente nula y(x)\equiv 0 (a chamada solução trivial) satisfaz a equação?

Passo 2

O que é “solução trivial” aqui? Por convenção em equações diferenciais lineares, a solução trivial é a função que vale zero para todo x do domínio, isto é y(x)\equiv 0. Para checar se essa função é solução, basta substituí-la na equação dada e verificar se a igualdade é verdadeira para todos x do domínio.

Passo 3

Substituindo y(x)\equiv 0 na equação:
  • Se y\equiv 0 então y^{\prime\prime\prime}\equiv 0.
  • A equação vira
x\cdot 0 + 1 = 0,
ou seja
1=0,
que é uma contradição. Essa igualdade é falsa para todo x (inclusive não faz sentido em x=0, mas a contradição aparece já para qualquer x\neq 0).

Passo 4

Explicação alternativa e reforço (opcional, para ver o porquê de forma mais estrutural): para x\neq 0 a equação é equivalente a
y^{\prime\prime\prime} = -\frac{1}{x}.
Integrando sucessivamente (explicando cada passo):
  • Integrando uma vez,
y^{\prime\prime} = -\ln|x| + C_1,
pois \int -\dfrac{1}{x}\,dx = -\ln|x| + C_1.
  • Integrando de novo,
y^{\prime} = -x\ln|x| + x + C_1 x + C_2,
pois \int -\ln|x|\,dx = -x\ln|x| + x.
  • Integrando pela terceira vez e calculando \int -x\ln|x|\,dx por partes (ou usando fórmula pronta),
y(x) = -\frac{x^2}{2}\ln|x| + \left(\frac{3}{4}+\frac{C_1}{2}\right)x^2 + C_2 x + C_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias. Observe que todo membro desta família de soluções contém o termo -\dfrac{x^2}{2}\ln|x|, que não é uma função polinomial; não existe escolha de C_1,C_2,C_3 que anule esse termo para todo x\neq 0. Portanto não há como obter a função identicamente zero a partir desta família — confirmando que não existe solução trivial.

Passo 5

Conclusão lógica direta e amigável: testar y\equiv 0 dá uma contradição 1=0, e a forma geral das soluções contém um termo -\dfrac{x^2}{2}\ln|x| que impede anular a solução por escolha de constantes. Logo, a equação não possui solução trivial.

Resposta

Não — a solução trivial y\equiv 0 não satisfaz a equação.

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