12.41 Para o DDT \left(\mathrm{C}_{14} \mathrm{H}_{9} \mathrm{Cl}_{5}\right) a 25^{\circ} \mathrm{C}, o \log K_{\text {ow }}=6,91. Se 100 mg de DDT, 80 g de água e 10 g de 1-octanol estão em equilíbrio a 25^{\circ} \mathrm{C}, determine a massa de cada substância presente em cada fase. Use os dados na Seção 12.7. A massa específica do 1-octanol a 25^{\circ} \mathrm{C} é 0,83 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Para determinar a massa específica de cada fase, suponha \Delta_{\text {mis }} V=0.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente e o que é pedido):
  • Substância: DDT com fórmula \mathrm{C}_{14}\mathrm{H}_9\mathrm{Cl}_5.
  • Massa total de DDT presente: m_{\text{tot}}=100\\ \mathrm{mg}.
  • Massa de água adicionada: m_{\mathrm{H_2O}}=80\\ \mathrm{g}.
  • Massa de 1‑octanol adicionada: m_{\mathrm{oct}}=10\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do 1‑octanol a 25^\circ\mathrm{C}: \rho_{\mathrm{oct}}=0{,}83\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Logaritmo do coeficiente partição: \log K_{\text{ow}}=6{,}91.
    Isso implica K_{\text{ow}}=10^{6{,}91}.
  • Condição dada para volumes: suponha \Delta_{\text{mis}}V=0 (volumes aditivos).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a massa de cada substância presente em cada fase. Interpreto isto como:
    • massa de DDT em cada fase (fase aquosa e fase octanol),
    • e as massas das substâncias solventes em cada fase (isto é, quanto de água fica na fase aquosa e quanto de octanol fica na fase orgânica).
      Obs.: para conhecer quantos gramas de octanol ficam dissolvidos na água (e vice‑versa), é necessário usar os dados de solubilidade mútua que o enunciado refere na Seção 12.7. Esses dados (solubilidade de água em octanol e de octanol em água) não foram fornecidos aqui. Sem esses números não é possível dar exatamente as massas dos solventes em cada fase; no entanto, dá para calcular a partição do DDT entre as fases se assumirmos que as fases têm os volumes calculáveis a partir das massas e densidade dada (ou seja, ignorando a solubilidade mútua). Vou mostrar primeiro o cálculo da partição do DDT sob a aproximação de fases praticamente puras (solubilidade mútua desprezível), e depois explico como incorporar os dados da Seção 12.7 caso sejam fornecidos.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida e direta):
  • O coeficiente de partição octanol‑água K_{\text{ow}} é definido como a razão das concentrações do soluto na fase octanol e na fase aquosa, em equilíbrio:
K_{\text{ow}}=\frac{C_{\mathrm{oct}}}{C_{\mathrm{w}}}.
  • Aqui vou usar concentrações em termos de massa por volume (por exemplo, \mathrm{mg/L} ou \mathrm{mg/cm^3}); a razão é a mesma se as duas concentrações usarem a mesma unidade de massa/volume.
  • Se m_{\mathrm{o}} for a massa de DDT na fase octanol e m_{\mathrm{w}} a massa de DDT na fase aquosa, e V_{\mathrm{o}}, V_{\mathrm{w}} forem os volumes das fases (em litros, por ex.), então
C_{\mathrm{oct}}=\frac{m_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{o}}},\qquad C_{\mathrm{w}}=\frac{m_{\mathrm{w}}}{V_{\mathrm{w}}}.
  • Portanto a definição dá a relação
K_{\text{ow}}=\frac{m_{\mathrm{o}}/V_{\mathrm{o}}}{m_{\mathrm{w}}/V_{\mathrm{w}}} =\frac{m_{\mathrm{o}}\,V_{\mathrm{w}}}{m_{\mathrm{w}}\,V_{\mathrm{o}}}.
  • Também vale a conservação de massa do soluto:
m_{\mathrm{o}}+m_{\mathrm{w}}=m_{\text{tot}}.
Com essas duas equações é possível resolver m_{\mathrm{o}} e m_{\mathrm{w}} desde que se conheçam K_{\text{ow}}, V_{\mathrm{o}} e V_{\mathrm{w}}.

Passo 3

Calcular K_{\text{ow}} numericamente a partir de \log K_{\text{ow}}=6{,}91:
K_{\text{ow}}=10^{6{,}91}\approx 10^{6}\times 10^{0{,}91}\approx 10^{6}\times 8{,}128\approx 8{,}13\times 10^{6}.

Passo 4

Calcular os volumes das fases assumindo inicialmente que cada fase tem a massa do solvente inicialmente adicionado (isto é, ignorando por ora a solubilidade mútua). A densidade da água a 25^\circ\mathrm{C} aproximamos por \rho_{\mathrm{H_2O}}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Volume da fase aquosa:
V_{\mathrm{w}}=\frac{m_{\mathrm{H_2O}}}{\rho_{\mathrm{H_2O}}} =\frac{80\\ \mathrm{g}}{1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}}=80\\ \mathrm{cm^3}=0{,}080\\ \mathrm{L}.
  • Volume da fase orgânica (octanol):
V_{\mathrm{o}}=\frac{m_{\mathrm{oct}}}{\rho_{\mathrm{oct}}} =\frac{10\\ \mathrm{g}}{0{,}83\\ \mathrm{g/cm^3}} \approx 12{,}048\\ \mathrm{cm^3}=0{,}012048\\ \mathrm{L}.
  • Calcular a razão V_{\mathrm{o}}/V_{\mathrm{w}}:
\frac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{w}}} =\frac{0{,}012048}{0{,}080}\approx 0{,}1506024.

Passo 5

Montar e resolver as equações para m_{\mathrm{w}} e m_{\mathrm{o}}.
  • Da relação do passo 2:
K_{\text{ow}}=\frac{m_{\mathrm{o}}\,V_{\mathrm{w}}}{m_{\mathrm{w}}\,V_{\mathrm{o}}} \quad\Rightarrow\quad m_{\mathrm{o}}=K_{\text{ow}}\frac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{w}}}\,m_{\mathrm{w}}.
  • Usando m_{\mathrm{o}}+m_{\mathrm{w}}=m_{\text{tot}} obtemos:
K_{\text{ow}}\frac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{w}}}\,m_{\mathrm{w}}+m_{\mathrm{w}}=m_{\text{tot}} \quad\Rightarrow\quad m_{\mathrm{w}}= \frac{m_{\text{tot}}}{1+K_{\text{ow}}\dfrac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{w}}}}.
  • Substituindo valores numéricos:
K_{\text{ow}}\frac{V_{\mathrm{o}}}{V_{\mathrm{w}}} \approx (8{,}13\times 10^{6})\times 0{,}1506024 \approx 1{,}224\times 10^{6}.
m_{\mathrm{w}} \approx \frac{100\\ \mathrm{mg}}{1+1{,}224\times 10^{6}} \approx \frac{100}{1{,}224\times 10^{6}}\\ \mathrm{mg} \approx 8{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{mg}.
  • Portanto
m_{\mathrm{o}}=m_{\text{tot}}-m_{\mathrm{w}} \approx 100\\ \mathrm{mg}-8{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{mg} \approx 99{,}9999183\\ \mathrm{mg}.
Interpretação física rápida: K_{\text{ow}} é enorme ( \sim 10^{7}), então praticamente todo o DDT prefere a fase octanol; a massa na fase aquosa é desprezível.

Passo 6

Valores práticos e concentrações (útil para a prova):
  • Massas de DDT nas fases (aproximação sem solubilidade mútua):
m_{\mathrm{DDT,\,aq}}\approx 8{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{mg}, \qquad m_{\mathrm{DDT,\,oct}}\approx 99{,}9999183\\ \mathrm{mg}.
  • Concentrações correspondentes (em \mathrm{mg/L}):
C_{\mathrm{w}}=\frac{m_{\mathrm{DDT,\,aq}}}{V_{\mathrm{w}}} \approx \frac{8{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{mg}}{0{,}080\\ \mathrm{L}} \approx 1{,}02\times 10^{-3}\\ \mathrm{mg/L}.
C_{\mathrm{oct}}=\frac{m_{\mathrm{DDT,\,oct}}}{V_{\mathrm{o}}} \approx \frac{99{,}9999183\\ \mathrm{mg}}{0{,}012048\\ \mathrm{L}} \approx 8{,}30\times 10^{3}\\ \mathrm{mg/L}.
Confirmação rápida: \dfrac{C_{\mathrm{oct}}}{C_{\mathrm{w}}}\approx 8{,}13\times 10^{6} (coerente com K_{\text{ow}}).

Passo 7

Sobre as massas dos solventes em cada fase e a necessidade dos dados da Seção 12.7 (como usar esses dados na prova):
  • O enunciado pede também “massa de cada substância presente em cada fase”. Se isso inclui quanto de octanol fica dissolvido na fase aquosa e quanto de água fica dissolvido na fase orgânica, então são necessárias as solubilidades mútuas (por exemplo, s_{\mathrm{o\\ in\\ w}} = gramas de octanol dissolvidos por 100 g de água, e s_{\mathrm{w\\ in\\ o}} = gramas de água dissolvidos por 100 g de octanol) — estes números são os dados que o exercício remete na Seção 12.7.
  • Procedimento para usar esses dados (passos que faria na prova assim que tiver os números da Seção 12.7):
    1. Calcular a massa de octanol dissolvida na água: m_{\mathrm{o\\ in\\ w}}=s_{\mathrm{o\\ in\\ w}}\times \dfrac{m_{\mathrm{H_2O}}}{100}.
    2. Calcular a massa de água dissolvida no octanol: m_{\mathrm{w\\ in\\ o}}=s_{\mathrm{w\\ in\\ o}}\times \dfrac{m_{\mathrm{oct}}}{100}.
    3. Então as massas de cada fase seriam: \text{fase aquosa: } m_{\mathrm{fase\\ w}}=m_{\mathrm{H_2O}}+m_{\mathrm{o\\ in\\ w}}, \qquad \text{fase octanol: } m_{\mathrm{fase\\ o}}=m_{\mathrm{oct}}+m_{\mathrm{w\\ in\\ o}}.
    4. Com \Delta_{\text{mis}}V=0 (volumes aditivos), converter essas massas em volumes usando as densidades apropriadas (densidade da água e densidade do octanol; para misturas pode-se aproximar densidade por massa/volume ou usar densidades tabuladas na Seção 12.7 se fornecidas).
    5. Recalcular V_{\mathrm{w}} e V_{\mathrm{o}} e repetir o cálculo de m_{\mathrm{w}} e m_{\mathrm{o}} do DDT (Passo 5) com os volumes corrigidos. Isso dá as massas finais de DDT em cada fase levando em conta a solubilidade mútua dos solventes.
  • Conclusão importante: sem os números de solubilidade mútua da Seção 12.7 não é possível afirmar com precisão quanto de água passa para a fase orgânica e quanto de octanol passa para a fase aquosa. No entanto, dada a enorme afinidade do DDT pela fase orgânica ( K_{\text{ow}}\sim 8{,}1\times 10^{6}), a correção na partição do DDT causada por essas pequenas quantidades de solvente dissolvido será quase sempre desprezível — ou seja, o resultado numérico do Passo 5 permanece válido dentro de uma aproximação excelente.

Resposta

DDT na fase aquosa: 8{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{mg}
DDT na fase octanol: 99{,}9999183\\ \mathrm{mg}
Água na fase aquosa (aproximação sem solubilidade mútua): 80\\ \mathrm{g}
Octanol na fase octanol (aproximação sem solubilidade mútua): 10\\ \mathrm{g}

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