A associação de átomos de potássio, em fase gás, forma um dímero, segundo a equação: 2 K(g) \rightleftharpoons K_{2}(g). Considerando que no início, tem-se 2,00 \mathrm{~mol} de K(g) e nenhum dímero, derive uma expressão para K_{p}(T) em termos do \xi_{\text {eq }} e da pressão. Explique a coerência ao Princípio de Chatelier, fazendo uso das expressões obtidas, assumindo um aumento de pressão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei estes valores do enunciado): a reação é \,2\,K(g)\rightleftharpoons K_{2}(g)\,. No início tem-se n_{K,0}=2{,}00\\ \mathrm{mol} de K(g) e n_{K_{2},0}=0.
  • O enunciado pede:
    1. Derivar uma expressão para K_{p}(T) em termos do \xi_{\text{eq}} (avançamento no equilíbrio) e da pressão total P.
    2. Explicar, usando as expressões obtidas, a coerência com o Princípio de Le Chatelier quando a pressão aumenta (ou seja: qual o sentido do deslocamento do equilíbrio se aumentarmos P?).

Passo 2

Definir o avanço de reação e escrever as quantidades de matéria no equilíbrio.
  • Chamo o avanço no equilíbrio de \xi_{\text{eq}} (em mol).
  • A estequiometria da reação é 2\,K \rightleftharpoons K_{2}. Começando com n_{K,0}=2{,}00 e n_{K_{2},0}=0, no equilíbrio teremos: n_{K} = n_{K,0} - 2\,\xi_{\text{eq}},
n_{K_{2}} = n_{K_{2},0} + \xi_{\text{eq}} = \xi_{\text{eq}}.
  • Como n_{K,0}=2{,}00, explicitamente: n_{K} = 2{,}00 - 2\,\xi_{\text{eq}},\qquad n_{K_{2}} = \xi_{\text{eq}}.

Passo 3

Calcular a pressão parcial de cada espécie em função de \xi_{\text{eq}} e da pressão total P.
  • O número total de mols no equilíbrio é n_{\text{tot}} = n_{K}+n_{K_{2}} = (2{,}00 - 2\xi_{\text{eq}}) + \xi_{\text{eq}} = 2{,}00 - \xi_{\text{eq}}.
  • A fração molar (ou fração em número de mols) de cada espécie é y_{K}=\frac{n_{K}}{n_{\text{tot}}}=\frac{2{,}00-2\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}},
y_{K_{2}}=\frac{n_{K_{2}}}{n_{\text{tot}}}=\frac{\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}.
  • Em mistura gasosa ideal, a pressão parcial é a fração molar vezes a pressão total P. Assim: p_{K}=y_{K}\,P=\frac{2{,}00-2\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}\,P,
p_{K_{2}}=y_{K_{2}}\,P=\frac{\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}\,P.

Passo 4

Escrever a expressão de K_{p}(T) em função das pressões parciais e substituir as expressões em termos de \xi_{\text{eq}} e P.
  • A definição de constante de equilíbrio em termos de pressões para a reação \,2K\rightleftharpoons K_{2}\, é K_{p}(T)=\frac{p_{K_{2}}}{p_{K}^{2}}.
  • Substituindo p_{K_{2}} e p_{K} obtidos no passo anterior: K_{p}(T)=\frac{\dfrac{\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}\,P}{\left(\dfrac{2{,}00-2\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}\,P\right)^{2}}.
  • Simplificando a expressão (fazer passo a passo): K_{p}(T)=\frac{\xi_{\text{eq}}}{2{,}00-\xi_{\text{eq}}}\,P\cdot\frac{(2{,}00-\xi_{\text{eq}})^{2}}{(2{,}00-2\xi_{\text{eq}})^{2}}\cdot\frac{1}{P^{2}}.
K_{p}(T)=\frac{\xi_{\text{eq}}(2{,}00-\xi_{\text{eq}})}{(2{,}00-2\xi_{\text{eq}})^{2}}\cdot\frac{1}{P}.
  • Portanto a forma final (mais compacta) é \boxed{\,K_{p}(T)=\frac{\xi_{\text{eq}}\,(2{,}00-\xi_{\text{eq}})}{\bigl(2{,}00-2\xi_{\text{eq}}\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{P}\, }.

Passo 5

Reescrever a relação de forma que fique evidente a dependência entre P e \xi_{\text{eq}} a temperatura fixa.
  • Multiplicando ambos os lados por P obtemos K_{p}(T)\,P=\frac{\xi_{\text{eq}}\,(2{,}00-\xi_{\text{eq}})}{\bigl(2{,}00-2\xi_{\text{eq}}\bigr)^{2}}.
  • Denoto a função do lado direito por f(\xi_{\text{eq}})=\frac{\xi_{\text{eq}}\,(2{,}00-\xi_{\text{eq}})}{\bigl(2{,}00-2\xi_{\text{eq}}\bigr)^{2}}.Assim a relação é K_{p}(T)\,P=f(\xi_{\text{eq}}).

Passo 6

Analisar como um aumento de pressão P afeta \xi_{\text{eq}} quando a temperatura é mantida constante (isto é, K_{p}(T) constante).
  • Se P aumenta e K_{p}(T) depende só de T, então o produto K_{p}P aumenta.
  • Para que a igualdade K_{p}P=f(\xi_{\text{eq}}) se mantenha, f(\xi_{\text{eq}}) tem de aumentar também. Logo é necessário que \xi_{\text{eq}} mude de modo a aumentar f(\xi_{\text{eq}}).
  • Para ter certeza do sentido da mudança, verifico se f(\xi) é crescente ou decrescente na faixa física 0\le\xi<1{,}00 (o avanço máximo possível é \xi=1{,}00 porque a partir de 2{,}00 mol de K só se formam no máximo 1{,}00 mol de K_{2}).
Calculo a derivada (para ser rigoroso, aqui faço as contas usando n_{0}=2{,}00 já substituído):
f(\xi)=\frac{\xi(2-\xi)}{(2-2\xi)^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\xi(2-\xi)}{(1-\xi)^{2}}.
Seja g(\xi)=\dfrac{\xi(2-\xi)}{(1-\xi)^{2}}. Calcula-se g'(\xi):
g'(\xi)=\frac{2}{(1-\xi)^{3}}>0\quad\text{para }0\le\xi<1.
Logo g'(\xi)>0 e, portanto, f'(\xi)=\dfrac{1}{4}g'(\xi)>0. Conclusão: f(\xi) é estritamente crescente na faixa física.
  • Como f(\xi) é crescente, um aumento de K_{p}P exige um aumento de \xi_{\text{eq}}. Portanto, quando P aumenta (à mesma T), \xi_{\text{eq}} aumenta.

Passo 7

Interpretação química e conexão com o Princípio de Le Chatelier (explicação intuitiva, usando a expressão).
  • A reação consome 2 mols de gás K para formar 1 mol de gás K_{2}. Isso significa que do lado direito há menos mols gasosos.
  • Aumentar a pressão favorece o lado com menos mols gasosos (porque reduzir volume eleva as pressões parciais; o sistema responde deslocando o equilíbrio para reduzir esse efeito).
  • A análise algébrica mostrou que, à temperatura fixa (portanto K_{p}(T) constante), aumentar P leva a um aumento de K_{p}P e, por monotonicidade de f(\xi), a um aumento de \xi_{\text{eq}}. Isso significa que o equilíbrio desloca-se para a direita (formação de mais K_{2}), coerente com o Princípio de Le Chatelier.

Resposta

K_{p}(T)=\dfrac{\xi_{\text{eq}}\,(2{,}00-\xi_{\text{eq}})}{\bigl(2{,}00-2\xi_{\text{eq}}\bigr)^{2}}\cdot\dfrac{1}{P}
Aumentando-se a pressão P (a T fixa), o produto K_{p}P cresce e, como a função \dfrac{\xi(2-\xi)}{(2-2\xi)^{2}} é crescente em 0\le\xi<1, segue-se que \xi_{\text{eq}} aumenta; ou seja, o equilíbrio desloca-se para a direita (mais formação de K_{2}), em concordância com o Princípio de Le Chatelier.

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