12.42* Determine
para cada uma das seguintes funções:
a)
.
Passo 1
O enunciado fornece a transformada de Laplace
e pede para determinar a função original
cuja transformada é
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
, que pode ser fatorado como . - A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: separar a parte polinomial da parte própria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador). Fazer a divisão de polinômios:
Explicação do que fiz aqui: como os graus do numerador e do denominador são iguais, divide-se termo a termo. Multiplicando
pelo denominador obtém-se
; subtraindo desse resultado do numerador sobra o resto
. Assim obtemos a soma de uma constante e de uma fração própria.
Passo 3
Agora decompor a fração própria em frações simples usando a fatoração do denominador
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Comparando coeficientes das potências de
resulta o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda:
vem
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição tem-se
Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Recordando os pares básicos de transformada de Laplace (para
):
-
. -
, onde é a função delta de Dirac (impulso) concentrada em .
Observações didáticas: quando aparece uma constante
adicionada em
(isto é, termo independente de
), isso corresponde a
multiplicando
ao fazer a transformada inversa, porque
. Já termos do tipo
correspondem a exponenciais multiplicadas pela constante.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa a cada termo:
-
. -
. -
.
Portanto a função original é