12.42* Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
a) \quad F(s)=\frac{10 s^{2}+85 s+95}{s^{2}+6 s+5}.

Passo 1

O enunciado fornece a transformada de Laplace
F(s)=\frac{10 s^{2}+85 s+95}{s^{2}+6 s+5}
e pede para determinar a função original f(t) cuja transformada é F(s).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é 10 s^{2}+85 s+95.
  • O denominador é s^{2}+6 s+5, que pode ser fatorado como (s+1)(s+5).
  • A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: separar a parte polinomial da parte própria (grau do numerador maior ou igual ao do denominador). Fazer a divisão de polinômios:
\frac{10 s^{2}+85 s+95}{s^{2}+6 s+5}=10+\frac{25 s+45}{s^{2}+6 s+5}.
Explicação do que fiz aqui: como os graus do numerador e do denominador são iguais, divide-se termo a termo. Multiplicando 10 pelo denominador obtém-se 10s^{2}+60s+50; subtraindo desse resultado do numerador sobra o resto 25s+45. Assim obtemos a soma de uma constante e de uma fração própria.

Passo 3

Agora decompor a fração própria em frações simples usando a fatoração do denominador (s+1)(s+5)\). Escreve-se: \[\frac{25 s+45}{(s+1)(s+5)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+5) obtemos a identidade
25 s+45 = A(s+5)+B(s+1) = (A+B)s + (5A+B).
Comparando coeficientes das potências de s resulta o sistema linear
\begin{cases} A+B=25,\\[4pt] 5A+B=45. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: 4A=20\], portanto \[A=5.\] Substituindo em \(A+B=25 vem
B=20.]

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição tem-se
F(s)=10+\frac{5}{s+1}+\frac{20}{s+5}.
Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Recordando os pares básicos de transformada de Laplace (para t\ge 0):
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\dfrac{1}{s+a}.
  • \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1, onde \delta(t) é a função delta de Dirac (impulso) concentrada em t=0.
Observações didáticas: quando aparece uma constante C adicionada em F(s) (isto é, termo independente de s), isso corresponde a C multiplicando \delta(t) ao fazer a transformada inversa, porque \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1. Já termos do tipo \dfrac{\text{const}}{s+a} correspondem a exponenciais multiplicadas pela constante.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo:
  • 10 \mapsto 10\,\delta(t).
  • \dfrac{5}{s+1} \mapsto 5 e^{-t}.
  • \dfrac{20}{s+5} \mapsto 20 e^{-5t}.
Portanto a função original é
f(t)=10\,\delta(t)+5 e^{-t}+20 e^{-5t},\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=10\,\delta(t)+5 e^{-t}+20 e^{-5t}

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