12.42* Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
b) \quad F(s)=\frac{5\left(s^{2}+8 s+5\right)}{s^{2}+4 s+5}.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{5\left(s^{2}+8 s+5\right)}{s^{2}+4 s+5}
e pede para determinar f(t), ou seja, a função cujo Laplace é F(s).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma razão de polinômios em s de grau igual no numerador e no denominador.
  • É necessário inverter a transformada de Laplace para obter f(t) para t\ge0.

Passo 2

Primeira ideia prática: se o numerador tem grau maior ou igual ao denominador, faço divisão polinomial (ou reescrita) para separar uma parte polinomial em s e uma fração própria. Isso facilita a inversão porque termos polinomiais em s correspondem a impulsos (deltas) e a frações próprias correspondem a funções exponenciais, senos e cossenos. Vamos reescrever a fração interna:
s^{2}+8s+5 = (s^{2}+4s+5) + 4s,
portanto
\frac{s^{2}+8s+5}{s^{2}+4s+5} = 1 + \frac{4s}{s^{2}+4s+5}.
Multiplicando por 5 obtemos
F(s)=5 + \frac{20s}{s^{2}+4s+5}.

Passo 3

Explico por que separar o 5: a transformada de Laplace do delta de Dirac é \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1. Logo uma constante em s (aqui 5) corresponde a um impulso 5\delta(t). A outra parcela \dfrac{20s}{s^{2}+4s+5} é uma fração própria que vamos inverter usando formas padrão (exponenciais modulando seno/cosseno).

Passo 4

Para inverter a fração própria, completo o quadrado no denominador para reconhecer a forma (s+a)^2+b^2:
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.
Agora expresso o numerador em função de (s+2):
20s = 20\bigl((s+2)-2\bigr)=20(s+2)-40.
Assim
\frac{20s}{s^{2}+4s+5}=\frac{20(s+2)}{(s+2)^2+1}-\frac{40}{(s+2)^2+1}.

Passo 5

Relembrando fórmulas padrão da transformada de Laplace (e o que cada símbolo significa):
  • Para a,b constantes com b>0,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}.
Aqui a é o decaimento exponencial (o sinal no expoente), b é a frequência no seno/cosseno. Também
\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.

Passo 6

Compare as frações obtidas com as formas padrão. No nosso caso a=2 e b=1. Portanto:
  • A parcela \dfrac{20(s+2)}{(s+2)^2+1} corresponde a 20\,e^{-2t}\cos t, pois \dfrac{s+2}{(s+2)^2+1} é a transformada de e^{-2t}\cos t.
  • A parcela \dfrac{1}{(s+2)^2+1} corresponde a e^{-2t}\sin t, pois \dfrac{1}{(s+2)^2+1} é a transformada de e^{-2t}\sin t.
Assim
\frac{20s}{s^{2}+4s+5}=20e^{-2t}\cos t - 40e^{-2t}\sin t.

Passo 7

Juntando com a parcela do impulso 5, obtemos a função f(t) (no sentido das transformadas de Laplace causais, para t\ge0):
f(t)=5\delta(t)+20e^{-2t}\cos t - 40e^{-2t}\sin t,\quad t\ge0.
Opcionalmente podemos factorar e^{-2t}:
f(t)=5\delta(t)+20e^{-2t}\bigl(\cos t -2\sin t\bigr),\quad t\ge0.

Resposta

f(t)=5\delta(t)+20e^{-2t}\cos t - 40e^{-2t}\sin t

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