12.42* Determine
para cada uma das seguintes funções:
b)
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para determinar
, ou seja, a função cujo Laplace é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma razão de polinômios em
de grau igual no numerador e no denominador. - É necessário inverter a transformada de Laplace para obter
para .
Passo 2
Primeira ideia prática: se o numerador tem grau maior ou igual ao denominador, faço divisão polinomial (ou reescrita) para separar uma parte polinomial em
e uma fração própria. Isso facilita a inversão porque termos polinomiais em
correspondem a impulsos (deltas) e a frações próprias correspondem a funções exponenciais, senos e cossenos. Vamos reescrever a fração interna:
portanto
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Explico por que separar o
: a transformada de Laplace do delta de Dirac é
. Logo uma constante em
(aqui
) corresponde a um impulso
. A outra parcela
é uma fração própria que vamos inverter usando formas padrão (exponenciais modulando seno/cosseno).
Passo 4
Para inverter a fração própria, completo o quadrado no denominador para reconhecer a forma
:
Agora expresso o numerador em função de
:
Assim
Passo 5
Relembrando fórmulas padrão da transformada de Laplace (e o que cada símbolo significa):
- Para
constantes com ,
Aqui
é o decaimento exponencial (o sinal no expoente),
é a frequência no seno/cosseno. Também
Passo 6
Compare as frações obtidas com as formas padrão. No nosso caso
e
. Portanto:
- A parcela
corresponde a , pois é a transformada de . - A parcela
corresponde a , pois é a transformada de .
Assim
Passo 7
Juntando com a parcela do impulso
, obtemos a função
(no sentido das transformadas de Laplace causais, para
):
Opcionalmente podemos factorar
: