- Para uma distribuição de corrente no espaço livre:
b) Determine o fluxo magnético através de uma espira descrita por
e
Passo 1
O enunciado fornece o potencial vetor da forma
Pede-se: determinar o fluxo magnético através da espira descrita por
e
.
Interpreto a notação do enunciado como o seguinte domínio da espira (retângulo sobre o plano
):
ou seja, a espira é a superfície plana em
com
e
variando de
a
. Vou usar essa interpretação para resolver o problema (se a intenção fosse outro intervalo para
, o resultado mudaria proporcionalmente).
O que vamos calcular: o fluxo magnético
através dessa superfície, tomando a orientação do elemento de superfície no sentido do versor
(normal positivo para o eixo
).
Passo 2
Lembrete conceitual e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, nada de pânico):
- O campo magnético
está relacionado ao potencial vetor por
isto é,
é o rotacional (curl) de
.
- O fluxo magnético através de uma superfície
é a integral de superfície de sobre :
Para uma superfície plana em
com normal unitário
, o elemento de superfície é
. Assim
onde
é a componente
do campo
.
- Fórmula prática do rotacional em coordenadas retangulares: se
, então
Passo 3
Vamos calcular explicitamente o rotacional
. Primeiro identifico as componentes:
Agora as derivadas parciais necessárias para
:
Portanto a componente
do rotacional é
Faço a soma/combine termos:
(Não precisamos calcular
e
para este problema porque a superfície está no plano
e só a componente
contribui para
.)
Passo 4
Avalio
na superfície
:
substituindo em
dá
substituindo
Portanto sobre a espira a função a integrar é
.
Passo 5
Escrevo a integral dupla para o fluxo
com os limites assumidos
:
Expliquei antes que
, então integrando
em
obtemos o fluxo com orientação para
.
Passo 6
Calculo a integral interna em
(mantenho
fixo enquanto integro em
):
Calculo cada termo:
Somando:
Passo 7
Agora integro em
de
a
:
Calculo:
Logo
A unidade, como esperado, é Weber (Wb), porque
tem unidade Tesla e a área metro quadrado; lembrando que
foi dada em Wb/m.
Passo 8
Interpretação final e aviso: o resultado obtido
corresponde ao fluxo com a orientação do vetor normal escolhida para
(normal para
). Se a orientação pedida no enunciado fosse a oposta, o fluxo seria
.