1. Para uma distribuição de corrente no espaço livre:
A=\left(2 x^{2} y+y z\right) a_{x}+\left(x y^{2}-x z^{3}\right) a_{y}-\left(6 x y z-2 x^{2} y^{2}\right) a_{z} \mathrm{~Wb} / \mathrm{m}
b) Determine o fluxo magnético através de uma espira descrita por x=1,0< y e z<2

Passo 1

O enunciado fornece o potencial vetor da forma
A=\bigl(2 x^{2} y+y z\bigr)\,a_{x}+\bigl(x y^{2}-x z^{3}\bigr)\,a_{y}-\bigl(6 x y z-2 x^{2} y^{2}\bigr)\,a_{z}\quad\text{(em Wb/m)}.
Pede-se: determinar o fluxo magnético através da espira descrita por x=1,\;0<y e z<2.
Interpreto a notação do enunciado como o seguinte domínio da espira (retângulo sobre o plano x=1):
0<y<2,\qquad 0<z<2,
ou seja, a espira é a superfície plana em x=1 com y e z variando de 0 a 2. Vou usar essa interpretação para resolver o problema (se a intenção fosse outro intervalo para y, o resultado mudaria proporcionalmente).
O que vamos calcular: o fluxo magnético \Phi através dessa superfície, tomando a orientação do elemento de superfície no sentido do versor \,a_x (normal positivo para o eixo x).

Passo 2

Lembrete conceitual e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, nada de pânico):
  • O campo magnético \mathbf{B} está relacionado ao potencial vetor \mathbf{A} por
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},
isto é, \mathbf{B} é o rotacional (curl) de \mathbf{A}.
  • O fluxo magnético através de uma superfície S é a integral de superfície de \mathbf{B} sobre S:
\Phi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Para uma superfície plana em x=1 com normal unitário \,a_x, o elemento de superfície é d\mathbf{S}=a_x\,dy\,dz. Assim
\Phi=\iint_{S} B_x\,dy\,dz,
onde B_x é a componente x do campo \mathbf{B}.
  • Fórmula prática do rotacional em coordenadas retangulares: se \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z), então
(\nabla\times\mathbf{A})_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_y=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente o rotacional \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}. Primeiro identifico as componentes:
A_x=2x^{2}y+y z,\qquad A_y=x y^{2}-x z^{3},\qquad A_z=-\bigl(6 x y z-2 x^{2} y^{2}\bigr)=-6x y z+2x^{2}y^{2}.
Agora as derivadas parciais necessárias para B_x:
\frac{\partial A_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6x y z+2x^{2}y^{2}\bigr)=-6x z+4x^{2}y,
\frac{\partial A_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y^{2}-x z^{3}\bigr)=-3x z^{2}.
Portanto a componente x do rotacional é
B_x=(\nabla\times\mathbf{A})_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} =(-6x z+4x^{2}y)-(-3x z^{2}).
Faço a soma/combine termos:
B_x=-6x z+4x^{2}y+3x z^{2}.
(Não precisamos calcular B_y e B_z para este problema porque a superfície está no plano x=1 e só a componente B_x contribui para \mathbf{B}\cdot a_x.)

Passo 4

Avalio B_x na superfície x=1:
substituindo x=1 em B_x
B_x(1,y,z)=-6(1) z+4(1)^{2}y+3(1) z^{2}=4y-6z+3z^{2}.
Portanto sobre a espira a função a integrar é 4y-6z+3z^{2}.

Passo 5

Escrevo a integral dupla para o fluxo \Phi com os limites assumidos 0\le y\le2,\;0\le z\le2:
\Phi=\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{2}\bigl(4y-6z+3z^{2}\bigr)\,dz\,dy.
Expliquei antes que d\mathbf{S}=a_x\,dy\,dz, então integrando B_x em y,z obtemos o fluxo com orientação para +a_x.

Passo 6

Calculo a integral interna em z (mantenho y fixo enquanto integro em z):
\int_{z=0}^{2}\bigl(4y-6z+3z^{2}\bigr)\,dz =4y\int_{0}^{2}dz-6\int_{0}^{2}z\,dz+3\int_{0}^{2}z^{2}\,dz.
Calculo cada termo:
4y\int_{0}^{2}dz=4y\cdot(2)=8y,
-6\int_{0}^{2}z\,dz=-6\cdot\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=-6\cdot\frac{4}{2}=-6\cdot2=-12,
3\int_{0}^{2}z^{2}\,dz=3\cdot\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=3\cdot\frac{8}{3}=8.
Somando:
\int_{0}^{2}\bigl(4y-6z+3z^{2}\bigr)\,dz=8y-12+8=8y-4.

Passo 7

Agora integro em y de 0 a 2:
\Phi=\int_{y=0}^{2}(8y-4)\,dy =8\int_{0}^{2}y\,dy-4\int_{0}^{2}dy =8\cdot\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2}-4\cdot\left[y\right]_{0}^{2}.
Calculo:
8\cdot\frac{2^{2}}{2}=8\cdot\frac{4}{2}=8\cdot2=16,
4\cdot 2=8.
Logo
\Phi=16-8=8.
A unidade, como esperado, é Weber (Wb), porque \mathbf{B} tem unidade Tesla e a área metro quadrado; lembrando que \mathbf{A} foi dada em Wb/m.

Passo 8

Interpretação final e aviso: o resultado obtido \Phi=8\\ \mathrm{Wb} corresponde ao fluxo com a orientação do vetor normal escolhida para \,a_x (normal para +x). Se a orientação pedida no enunciado fosse a oposta, o fluxo seria -8\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

8\\ \mathrm{Wb}

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