- O plano
é percorrido por uma corrente de
. Se
na origem, determine
em:
b)
Passo 1
O enunciado (texto que foi dado) e o que ele pede:
- Dado: o plano
é percorrido por uma corrente descrita como . - Condição:
na origem . - Pedido: determinar
no ponto .
Observações de todas as informações relevantes que o enunciado nos deu (sem ainda resolver):
- A superfície considerada é o plano horizontal
. - A grandeza numérica dada é
com unidades e direção . - Foi dado um valor de referência do potencial magnético
na origem. - Quer-se o valor do potencial magnético
num ponto cujo (ou seja, no mesmo lado acima do plano ).
Passo 2
Primeira aula curta: o que costuma significar escrita como "corrente de
" num problema de magnetostática?
- A notação com unidades
normalmente indica uma densidade de corrente superficial (unidade ) aplicada a um plano infinito. A densidade superficial é um vetor que representa corrente por unidade de comprimento ao longo da superfície. - Importante: uma densidade superficial
está sempre tangente à superfície. Em outras palavras, tem que viver no plano — não pode ser perpendicular ao plano. Para o plano (que tem vetor normal ), os vetores tangentes estão no plano (combinações de e ).
Conclusão imediata: a especificação
indica uma corrente na direção
(isto é, perpendicular ao plano), o que contradiz a natureza de uma densidade superficial (que precisa ser tangente). Logo há uma inconsistência no enunciado se interpretarmos literalmente como densidade superficial no plano
.
Vou explicar as consequência físicas dessa inconsistência e depois tratar a interpretação mais provável que permite cálculo.
Passo 3
A relação de contorno fundamental (outra mini-aula) que usamos para folhas de corrente superficiais:
- Se existe uma densidade superficial de corrente
localizada numa superfície de normal unitário , então o campo sofre um salto tangencial dado por
- Esta equação é a forma de contorno mais direta e sempre deve “fechar” vetorialmente: o lado esquerdo
é um vetor perpendicular a (ou seja, tangente à superfície). Portanto o vetor do lado direito também precisa ser tangente à superfície.
Aplicando isso ao nosso plano
:
- O vetor normal pode ser tomado
. - Então
será sempre um vetor no plano (componente em e/ou ), nunca paralelo a . - Portanto um
paralelo a não pode ser igual ao lado esquerdo: contradição.
Conclusão rigorosa: com a leitura literal dada, não existe uma distribuição de corrente superficial
tangente ao plano que seja igual a
. Por isso, com a informação exatamente como escrita o problema NÃO está bem posto e não se pode aplicar a fórmula padrão para obter
.
Passo 4
O que fazer na prática (eu como seu colega aconselhando): existem duas atitudes possíveis:
- (A) Reportar que há um erro/ambiguïdade no enunciado e pedir correção (o ideal em prova seria esclarecer com o professor).
- (B) Fazer a interpretação mais plausível e resolver sob essa hipótese. Em problemas de sala/prova é comum que a corrente superficial num plano horizontal seja escrita com um vetor tangente, tipicamente
ou . Acredito que o enunciado provavelmente quis dizer (ou possivelmente ), isto é, corrente no plano, não perpendicular a ele.
Eu vou seguir a atitude (B) e assumir a interpretação mais natural que permite resolução: suponho que a corrente superficial seja
no plano
. (Se a intenção for outra, a resposta muda; depois da resolução eu volto a lembrar disso.)
Passo 5
Mini-aula: como se obtém
(potencial magnético escalar) a partir de
para um plano infinito?
- Em regiões sem corrente (fora da folha),
, então existe potencial escalar tal que
nessas regiões.
- Para a folha de corrente superficial infinita e uniforme, por simetria
será constante em cada região (acima e abaixo) e tangente ao plano. O salto entre os dois valores de é determinado pela condição de contorno
- Com
e , vamos resolver para e . Para um plano infinito e uniforme, por simetria escolhemos
Explicando por que: fazer essa escolha dá exatamente o salto apropriado e respeita a simetria de troca de cima/baixo (os campos têm mesmos módulo e direções opostas).
Verificação rápida com cálculo vetorial:
que é exatamente
. Então a escolha está correta.
Passo 6
Aplicando os valores numéricos com nossa hipótese
:
- Temos
. - Para a região acima do plano
(onde está o ponto pedido ), o campo é
Passo 7
Agora vamos obter
usando
.
- Como
é uniforme e tem componente apenas em , temos
- Da primeira equação vem
- Integrando em relação a
:
onde
é constante (independente de
). Como
, não há dependência de
nem de
além dessa constante.
Passo 8
Determinar a constante usando a condição dada
.
- Substituindo
em obtemos , logo .
Portanto, para a região acima do plano (onde está o ponto pedido) o potencial é
Passo 9
Calcular
no ponto pedido
:
(Unidades: o potencial escalar magnético tem unidade ampere
no SI quando definido por
.)
Passo 10
Resumo final e ressalva importante:
- Se a intenção do enunciado for exatamente
(corrente superficial perpendicular ao plano), há uma inconsistência física e não dá para aplicar a condição de contorno de uma folha de corrente — nesse caso não é possível determinar com as hipóteses usuais. - Se a interpretação plausível for
(corrente tangente ao plano, que é o caso fisicamente consistente para uma densidade superficial), então o valor de no ponto pedido é .
Resposta
Impossível determinar: a corrente indicada
é normal ao plano (inconsistência para densidade superficial).
Se interpretar , então
.
Se interpretar