1. O plano z=-2 é percorrido por uma corrente de 50 a_{z} A / m. Se V_{m}=0 na origem, determine V_{m} em:
b) (10,3,1)

Passo 1

O enunciado (texto que foi dado) e o que ele pede:
  • Dado: o plano z=-2 é percorrido por uma corrente descrita como \,50\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m}.
  • Condição: V_{m}=0 na origem (0,0,0).
  • Pedido: determinar V_{m} no ponto (10,3,1).
Observações de todas as informações relevantes que o enunciado nos deu (sem ainda resolver):
  • A superfície considerada é o plano horizontal z=-2.
  • A grandeza numérica dada é 50 com unidades \text{A/m} e direção \mathbf{a}_z.
  • Foi dado um valor de referência do potencial magnético V_m na origem.
  • Quer-se o valor do potencial magnético V_m num ponto cujo z=1 (ou seja, no mesmo lado acima do plano z=-2).

Passo 2

Primeira aula curta: o que costuma significar escrita como "corrente de 50\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m}" num problema de magnetostática?
  • A notação com unidades \text{A/m} normalmente indica uma densidade de corrente superficial \mathbf{K} (unidade \text{A/m}) aplicada a um plano infinito. A densidade superficial \mathbf{K} é um vetor que representa corrente por unidade de comprimento ao longo da superfície.
  • Importante: uma densidade superficial \mathbf{K} está sempre tangente à superfície. Em outras palavras, \mathbf{K} tem que viver no plano — não pode ser perpendicular ao plano. Para o plano z=-2 (que tem vetor normal \mathbf{a}_z), os vetores tangentes estão no plano xy (combinações de \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y).
Conclusão imediata: a especificação \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m} indica uma corrente na direção \mathbf{a}_z (isto é, perpendicular ao plano), o que contradiz a natureza de uma densidade superficial (que precisa ser tangente). Logo há uma inconsistência no enunciado se interpretarmos literalmente como densidade superficial no plano z=-2.
Vou explicar as consequência físicas dessa inconsistência e depois tratar a interpretação mais provável que permite cálculo.

Passo 3

A relação de contorno fundamental (outra mini-aula) que usamos para folhas de corrente superficiais:
  • Se existe uma densidade superficial de corrente \mathbf{K} localizada numa superfície de normal unitário \mathbf{a}_n, então o campo \mathbf{H} sofre um salto tangencial dado por
\mathbf{a}_n\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr)=\mathbf{K}.
  • Esta equação é a forma de contorno mais direta e sempre deve “fechar” vetorialmente: o lado esquerdo \mathbf{a}_n\times(\cdots) é um vetor perpendicular a \mathbf{a}_n (ou seja, tangente à superfície). Portanto o vetor \mathbf{K} do lado direito também precisa ser tangente à superfície.
Aplicando isso ao nosso plano z=-2:
  • O vetor normal pode ser tomado \mathbf{a}_n=\mathbf{a}_z.
  • Então \mathbf{a}_z\times(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}) será sempre um vetor no plano xy (componente em \mathbf{a}_x e/ou \mathbf{a}_y), nunca paralelo a \mathbf{a}_z.
  • Portanto um \mathbf{K} paralelo a \mathbf{a}_z não pode ser igual ao lado esquerdo: contradição.
Conclusão rigorosa: com a leitura literal dada, não existe uma distribuição de corrente superficial \mathbf{K} tangente ao plano que seja igual a 50\,\mathbf{a}_z. Por isso, com a informação exatamente como escrita o problema NÃO está bem posto e não se pode aplicar a fórmula padrão para obter V_m.

Passo 4

O que fazer na prática (eu como seu colega aconselhando): existem duas atitudes possíveis:
  • (A) Reportar que há um erro/ambiguïdade no enunciado e pedir correção (o ideal em prova seria esclarecer com o professor).
  • (B) Fazer a interpretação mais plausível e resolver sob essa hipótese. Em problemas de sala/prova é comum que a corrente superficial num plano horizontal seja escrita com um vetor tangente, tipicamente \mathbf{a}_x ou \mathbf{a}_y. Acredito que o enunciado provavelmente quis dizer \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_x\\ \text{A/m} (ou possivelmente \mathbf{a}_y), isto é, corrente no plano, não perpendicular a ele.
Eu vou seguir a atitude (B) e assumir a interpretação mais natural que permite resolução: suponho que a corrente superficial seja
\mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_x\\ \text{A/m}
no plano z=-2. (Se a intenção for outra, a resposta muda; depois da resolução eu volto a lembrar disso.)

Passo 5

Mini-aula: como se obtém V_m (potencial magnético escalar) a partir de \mathbf{K} para um plano infinito?
  • Em regiões sem corrente (fora da folha), \nabla\times\mathbf{H}=0, então existe potencial escalar V_m tal que
\mathbf{H}=-\nabla V_m
nessas regiões.
  • Para a folha de corrente superficial infinita e uniforme, por simetria \mathbf{H} será constante em cada região (acima e abaixo) e tangente ao plano. O salto entre os dois valores de \mathbf{H} é determinado pela condição de contorno
\mathbf{a}_z\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr)=\mathbf{K}.
  • Com \mathbf{K}=K\,\mathbf{a}_x e \mathbf{a}_n=\mathbf{a}_z, vamos resolver para \mathbf{H}_{\text{acima}} e \mathbf{H}_{\text{abaixo}}. Para um plano infinito e uniforme, por simetria escolhemos
\mathbf{H}_{\text{acima}}=-\frac{K}{2}\mathbf{a}_y,\qquad \mathbf{H}_{\text{abaixo}}=+\frac{K}{2}\mathbf{a}_y.
Explicando por que: fazer essa escolha dá exatamente o salto apropriado e respeita a simetria de troca de cima/baixo (os campos têm mesmos módulo e direções opostas).
Verificação rápida com cálculo vetorial:
\mathbf{a}_z\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{acima}}-\mathbf{H}_{\text{abaixo}}\bigr) =\mathbf{a}_z\times\bigl(-\tfrac{K}{2}\mathbf{a}_y-\tfrac{K}{2}\mathbf{a}_y\bigr) =\mathbf{a}_z\times(-K\mathbf{a}_y) = -K(\mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_y)= -K(-\mathbf{a}_x)=K\mathbf{a}_x,
que é exatamente \mathbf{K}. Então a escolha está correta.

Passo 6

Aplicando os valores numéricos com nossa hipótese \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_x:
  • Temos K=50.
  • Para a região acima do plano z>-2 (onde está o ponto pedido (10,3,1)), o campo é
\mathbf{H}=\mathbf{H}_{\text{acima}}=-\frac{K}{2}\mathbf{a}_y=-\frac{50}{2}\mathbf{a}_y=-25\,\mathbf{a}_y\quad(\text{A/m}).

Passo 7

Agora vamos obter V_m usando \mathbf{H}=-\nabla V_m.
  • Como \mathbf{H} é uniforme e tem componente apenas em y, temos
-\frac{\partial V_m}{\partial y}=H_y=-25, \quad\text{e}\quad -\frac{\partial V_m}{\partial x}=H_x=0,\quad -\frac{\partial V_m}{\partial z}=H_z=0.
  • Da primeira equação vem
\frac{\partial V_m}{\partial y}=25.
  • Integrando em relação a y:
V_m(x,y,z)=25\,y + C,
onde C é constante (independente de y). Como H_x=H_z=0, não há dependência de x nem de z além dessa constante.

Passo 8

Determinar a constante usando a condição dada V_m(0,0,0)=0.
  • Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em V_m=25\,y+C obtemos 0 = 25\cdot 0 + C, logo C=0.
Portanto, para a região acima do plano (onde está o ponto pedido) o potencial é
V_m(x,y,z)=25\,y.

Passo 9

Calcular V_m no ponto pedido (10,3,1):
V_m(10,3,1)=25\cdot 3 = 75.
(Unidades: o potencial escalar magnético tem unidade ampere \text{A} no SI quando definido por \mathbf{H}=-\nabla V_m.)

Passo 10

Resumo final e ressalva importante:
  • Se a intenção do enunciado for exatamente \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_z (corrente superficial perpendicular ao plano), há uma inconsistência física e não dá para aplicar a condição de contorno de uma folha de corrente — nesse caso não é possível determinar V_m com as hipóteses usuais.
  • Se a interpretação plausível for \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_x (corrente tangente ao plano, que é o caso fisicamente consistente para uma densidade superficial), então o valor de V_m no ponto pedido é 75.

Resposta

Impossível determinar: a corrente indicada \,50\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m} é normal ao plano (inconsistência para densidade superficial).
Se interpretar \mathbf{K}=50\,\mathbf{a}_x\\ \text{A/m}, então \;V_{m}(10,3,1)=75.

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