12.45 Uma amostra circular de MgO é carregada usando um ensaio de flexão a três pontos. Calcule o raio mínimo possível para a amostra para que não ocorra uma fratura, dado que a carga aplicada é de 5560 N \left(1250 \mathrm{lb}_{\mathrm{f}}\right), a resistência à flexão é de 105 \mathrm{MPa}(15.000 psi) e a separação entre os pontos de aplicação da carga é de 45 \mathrm{~mm}(1,75 \mathrm{in}).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que o problema dá e o que é pedido):
  • Carga aplicada: P=5560\\ \mathrm{N} (força concentrada no meio).
  • Resistência à flexão admissível do MgO: \sigma_{\mathrm{adm}}=105\\ \mathrm{MPa}=105\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Separação entre os pontos de apoio (span): L=45\\ \mathrm{mm}=0,045\\ \mathrm{m}.
    O que o problema pede:
  • Calcular o raio mínimo r_{\min} da seção circular da amostra para que não ocorra fratura (isto é, para que a tensão máxima de flexão não exceda \sigma_{\mathrm{adm}}).

Passo 2

Conceito importante: tensão de flexão máxima em uma viga submetida a momento fletor.
  • A fórmula geral da tensão de flexão na fibra mais externa é
\sigma=\frac{M\,c}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão de flexão na fibra mais distante do eixo neutro (Pa),
  • M é o momento fletor máximo (N·m),
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais externa (m),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (m^4).
    Expliquei cada símbolo para você não se perder na hora da prova.

Passo 3

Momento fletor máximo para carregamento três pontos com carga central:
  • Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada P no meio do vão L, o momento máximo no centro vale
M_{\max}=\frac{P\,L}{4}.
Isso é obtido pela distribuição de reações e diagrama de momento (é uma fórmula padrão de estática para três pontos).

Passo 4

Momento de inércia e c para seção circular:
  • Para uma seção circular de raio r:
    • a distância da fibra externa ao eixo neutro é c=r,
    • o momento de inércia em relação ao eixo neutro (por exemplo eixo horizontal que corta o centro) é
I=\frac{\pi r^{4}}{4}.
Essa fórmula é conhecida para áreas circulares (pode ser decorada; se precisar, lembre que para um círculo de raio r os eixos centroidais têm esse I).

Passo 5

Combinar as fórmulas para obter a tensão máxima em função de P,L,r.
  • Substituindo M_{\max}=\dfrac{P\,L}{4}, c=r e I=\dfrac{\pi r^{4}}{4} em \sigma=\dfrac{M c}{I}, temos:
\sigma_{\max}=\frac{\left(\dfrac{P\,L}{4}\right)\,r}{\dfrac{\pi r^{4}}{4}}.
  • Simplificando (observe que o fator \tfrac{1}{4} no numerador e denominador cancela):
\sigma_{\max}=\frac{P\,L}{\pi r^{3}}.
Essa é a relação que liga a carga, o vão e o raio à tensão máxima na fibra externa da amostra circular em três pontos.

Passo 6

Condição de segurança e expressão para o raio mínimo.
  • Para evitar fratura devemos ter \sigma_{\max}\le \sigma_{\mathrm{adm}}. Substituindo a expressão:
\frac{P\,L}{\pi r^{3}}\le \sigma_{\mathrm{adm}}.
  • Isolando r (esta é a etapa-chave que você precisa saber fazer na prova):
r^{3}\ge \frac{P\,L}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}} \qquad\Rightarrow\qquad r\ge \left(\frac{P\,L}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/3}.
Portanto o raio mínimo é
r_{\min}=\left(\frac{P\,L}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/3}.

Passo 7

Converter unidades para o SI e substituir os valores numéricos.
  • Usando P=5560\\ \mathrm{N}, L=0,045\\ \mathrm{m} e \sigma_{\mathrm{adm}}=105\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
\frac{P\,L}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}}=\frac{5560\times0,045}{\pi\times(105\times10^{6})}.
  • Calcular o numerador:
5560\times0,045=250,2\quad(\mathrm{N\cdot m}).
  • Calcular o denominador:
\pi\times(105\times10^{6})\approx 3{,}14159265\times105\times10^{6}\approx 3{,}29867295\times10^{8}\quad(\mathrm{Pa}).
  • Dividindo:
\frac{250{,}2}{3{,}29867295\times10^{8}}\approx 7{,}5869967\times10^{-7}\quad(\mathrm{m^{3}}).

Passo 8

Fazer a raiz cúbica para obter r_{\min}.
  • Tomando a raiz cúbica:
r_{\min}=\left(7{,}5869967\times10^{-7}\right)^{1/3}\approx 0{,}00913\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para milímetros (mais prático para dimensões de amostras):
r_{\min}\approx 9{,}13\\ \mathrm{mm}.
  • Para referência, o diâmetro mínimo correspondente seria d_{\min}=2r_{\min}\approx 18{,}26\\ \mathrm{mm} (apenas para você ter uma noção prática).

Passo 9

Resumo didático e dica para a prova.
  • Resumindo o raciocínio: escreva sempre \sigma=\dfrac{M c}{I}, calcule M_{\max} do caso (aqui P L/4), use I da seção (aqui \pi r^{4}/4), combine e isole r. Isso evita erros e é rápido de aplicar em prova.
  • Dica prática: memorize a forma final para seção circular em três pontos \sigma_{\max}=\dfrac{P\,L}{\pi r^{3}} — assim você só precisa isolar r e inserir números.

Resposta

r_{\min}=9{,}13\\ \mathrm{mm}

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