12.45 Uma amostra circular de MgO é carregada usando um ensaio de flexão a três pontos. Calcule o raio mínimo possível para a amostra para que não ocorra uma fratura, dado que a carga aplicada é de 5560 N
, a resistência à flexão é de
psi) e a separação entre os pontos de aplicação da carga é de
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que o problema dá e o que é pedido):
- Carga aplicada:
(força concentrada no meio). - Resistência à flexão admissível do MgO:
. - Separação entre os pontos de apoio (span):
.
O que o problema pede: - Calcular o raio mínimo
da seção circular da amostra para que não ocorra fratura (isto é, para que a tensão máxima de flexão não exceda ).
Passo 2
Conceito importante: tensão de flexão máxima em uma viga submetida a momento fletor.
- A fórmula geral da tensão de flexão na fibra mais externa é
onde:
-
é a tensão de flexão na fibra mais distante do eixo neutro (Pa), -
é o momento fletor máximo (N·m), -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais externa (m), -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (m^4).
Expliquei cada símbolo para você não se perder na hora da prova.
Passo 3
Momento fletor máximo para carregamento três pontos com carga central:
- Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada
no meio do vão , o momento máximo no centro vale
Isso é obtido pela distribuição de reações e diagrama de momento (é uma fórmula padrão de estática para três pontos).
Passo 4
Momento de inércia e
para seção circular:
- Para uma seção circular de raio
: - a distância da fibra externa ao eixo neutro é
, - o momento de inércia em relação ao eixo neutro (por exemplo eixo horizontal que corta o centro) é
- a distância da fibra externa ao eixo neutro é
Essa fórmula é conhecida para áreas circulares (pode ser decorada; se precisar, lembre que para um círculo de raio
os eixos centroidais têm esse
).
Passo 5
Combinar as fórmulas para obter a tensão máxima em função de
.
- Substituindo
, e em , temos:
- Simplificando (observe que o fator
no numerador e denominador cancela):
Essa é a relação que liga a carga, o vão e o raio à tensão máxima na fibra externa da amostra circular em três pontos.
Passo 6
Condição de segurança e expressão para o raio mínimo.
- Para evitar fratura devemos ter
. Substituindo a expressão:
- Isolando
(esta é a etapa-chave que você precisa saber fazer na prova):
Portanto o raio mínimo é
Passo 7
Converter unidades para o SI e substituir os valores numéricos.
- Usando
, e :
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Dividindo:
Passo 8
Fazer a raiz cúbica para obter
.
- Tomando a raiz cúbica:
- Convertendo para milímetros (mais prático para dimensões de amostras):
- Para referência, o diâmetro mínimo correspondente seria
(apenas para você ter uma noção prática).
Passo 9
Resumo didático e dica para a prova.
- Resumindo o raciocínio: escreva sempre
, calcule do caso (aqui ), use da seção (aqui ), combine e isole . Isso evita erros e é rápido de aplicar em prova. - Dica prática: memorize a forma final para seção circular em três pontos
— assim você só precisa isolar e inserir números.