Represente em uma estrutura cristalina CCC a direção [101] e o plano (222) e calcule a DAL e DAP para o ferro
. Calcule também a densidade volumétrica
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas principais:
- Representar geometricamente em uma célula cúbica de corpo centrado (CCC) a direção
e o plano . - Calcular a DAL (densidade atômica linear) ao longo da direção
. - Calcular a DAP (densidade atômica planar) do plano
. - Calcular a densidade volumétrica (massa por volume) do ferro, sendo fornecido no enunciado o número
.
Informações relevantes dadas e decisões que vou tomar (peguei estes dados do enunciado e de constantes conhecidas):
- O enunciado identificou o material como ferro (Fe). O número
fornecido é o número atômico de Fe; para calcular massa por mol (necessária para a densidade) é preciso usar a massa atômica (massa molar). Vou usar a massa atômica molar padrão do ferro (valor tabelado), porque usar apenas o número atômico não dá massa. - Constante de Avogadro:
. - Para o ferro
(estrutura CCC/BCC) a constante de rede experimental é (valor tabelado). Vou usar esse para cálculos numéricos. - Relações úteis que vou usar:
- Conversão:
. - A célula CCC tem
átomos por célula unitária (8 cantos + 1 no corpo).
- Conversão:
- Observação sobre o plano
: índices com fator comum representam um plano paralelo; é paralela a . Para facilidade geométrica vou trabalhar com a representação reduzida (mesma orientação), explicando a relação no passo apropriado.
Passo 2
Representação da direção
na célula cúbica (ensinando passo a passo):
- Em uma rede cúbica com parâmetro de rede
, um vetor de rede na direção corresponde ao vetor cartesiano
- Para
temos
Isto significa que partindo de um átomo no canto
e seguindo a direção
encontra-se o próximo átomo de canto em
(em coordenadas fracionais da célula). O comprimento desse trecho (distância entre átomos equivalentes ao longo dessa direção) é
- Visualização prática (como desenhar na prova): desenhe o cubo; marque um canto na frente-esquerda-baixo como origem; a direção
vai para a aresta que combina +x e +z (diagonal do plano ), passando do canto dianteiro-inferior ao canto traseiro-superior adjacente no mesmo plano .
Passo 3
Representação do plano
(explicando por que reduzo para
e como localizar o plano):
- Miller indices
são reciprocais dos pontos de intercepto com os eixos (em unidades de ). Quando há fator comum, a orientação do plano é a mesma se reduzirmos os índices. Assim é paralelo a ; não é exactamente o mesmo plano posicionado na cela, mas tem a mesma orientação. Em cristalografia normalmente reduzimos índices: em orientação. - O plano
(orientação equivalente) tem equação (em coordenadas fracionárias com comprimento de eixo ):
Ele intercepta os eixos nos pontos cartesianamente
,
,
, formando um triângulo no interior da cela. Esse triângulo é a seção do plano dentro da célula unitária que normalmente se usa para calcular a DAP de um plano específico.
- Área desse triângulo (três pontos formando um triângulo equilátero cujos lados valem
): - lado
; - área do triângulo equilátero:
.
- lado
- Observação didática: embora
seja paralelo a , o conjunto de planos tem espaçamento que inclui planos correspondentes a índices múltiplos; para densidade planar de orientação usamos a mesma geometria do plano reduzido.
Passo 4
Definição e método para calcular a DAL (densidade atômica linear):
- Definição: DAL é o número de átomos cujos centros estão situados exatamente sobre a direção por unidade de comprimento (átomos por unidade de comprimento).
- Procedimento prático: encontrar o menor afastamento entre centros de átomos sucessivos ao longo dessa direção (distância de repetição
); então
- Aplicando à direção
no reticulado cúbico: - Já vimos que a menor translação de rede ao longo de
leva de um nó de rede a outro é com comprimento . - Então há um átomo por intervalo
(pense na sequência de nós ao longo da reta), logo
- Já vimos que a menor translação de rede ao longo de
- Explicação adicional para não confundir: não estamos dividindo por compartilhamentos de célula; estamos contando átomos ao longo da reta no reticulado infinito — a cada
aparece um átomo.
Passo 5
Cálculo numérico da DAL usando
:
- Converter
para centímetros:
- Calcular
- Executando a conta:
- Se preferir em unidades por ångström:
Passo 6
Definição e método para calcular a DAP (densidade atômica planar) do plano
:
- Definição: DAP é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do plano (átomos por área).
- Abordagem usada (prática e robusta): escolher a célula 2D primitiva no plano e contar quantos centros atômicos há por célula 2D; então
- Para o plano
(orientação equivalente a ), podemos usar o triângulo dentro da célula que tem área e contém três átomos cujos centros estão nos vértices do triângulo (são cantos da cela). - Cada um desses átomos de canto, na contagem do triângulo dentro daquela cela, é compartilhado entre 6 triângulos idênticos adjacentes (razão geométrica: em 3D cada canto pertence a 8 células, mas quando consideramos o pavimento triangular do plano, cada vértice é compartilhado por 6 triângulos do plano).
- Logo contribuição efetiva de átomos dentro do triângulo:
átomo por triângulo.
- Assim
- Observação conceitual: este resultado também pode ser obtido construindo a célula 2D primitiva do reticulado dentro do plano e constatando que há um nó por célula 2D de área
, levando ao mesmo resultado.
Passo 7
Cálculo numérico da DAP usando
:
- Em centímetros:
. - Calcular
- Executando a conta:
- Em unidades por
: lembre que , logo
Passo 8
Cálculo da densidade volumétrica
do ferro (massa por volume) usando a célula CCC:
- Fórmula geral para densidade:
onde
é o número de átomos por célula (para CCC/BCC
),
a massa molar (g/mol),
Avogadro, e
em cm.
- Usando
, , e : - Massa por célula:
- Volume da célula:
- Densidade:
- Esse valor concorda com o valor experimental conhecido para o ferro
(próximo de ), mostrando coerência.
Resposta
Representação da direção
:
, com comprimento de repetição
.
Representação do plano
: orientação equivalente a
; triângulo na cela com interceptos em
e área
.
DAL
.
DAP
.
Densidade volumétrica
.