Represente em uma estrutura cristalina CCC a direção [101] e o plano (222) e calcule a DAL e DAP para o ferro (A=26). Calcule também a densidade volumétrica \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais:
  • Representar geometricamente em uma célula cúbica de corpo centrado (CCC) a direção [101] e o plano (222).
  • Calcular a DAL (densidade atômica linear) ao longo da direção [101].
  • Calcular a DAP (densidade atômica planar) do plano (222).
  • Calcular a densidade volumétrica (massa por volume) do ferro, sendo fornecido no enunciado o número A=26.
Informações relevantes dadas e decisões que vou tomar (peguei estes dados do enunciado e de constantes conhecidas):
  • O enunciado identificou o material como ferro (Fe). O número A=26 fornecido é o número atômico de Fe; para calcular massa por mol (necessária para a densidade) é preciso usar a massa atômica (massa molar). Vou usar a massa atômica molar padrão do ferro \,M_{\rm Fe}=55{,}85\\ \mathrm{g/mol} (valor tabelado), porque usar apenas o número atômico não dá massa.
  • Constante de Avogadro: N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Para o ferro \alpha (estrutura CCC/BCC) a constante de rede experimental é \,a=2{,}866\\ \text{\AA} (valor tabelado). Vou usar esse a para cálculos numéricos.
  • Relações úteis que vou usar:
    • Conversão: 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
    • A célula CCC tem n=2 átomos por célula unitária (8 cantos \times 1/8 + 1 no corpo).
  • Observação sobre o plano (222): índices com fator comum representam um plano paralelo; (222) é paralela a (111). Para facilidade geométrica vou trabalhar com a representação reduzida (111) (mesma orientação), explicando a relação no passo apropriado.

Passo 2

Representação da direção [101] na célula cúbica (ensinando passo a passo):
  • Em uma rede cúbica com parâmetro de rede a, um vetor de rede na direção [u v w] corresponde ao vetor cartesiano
\vec{R} = a\,(u,\,v,\,w).
  • Para [101] temos
\vec{R}_{[101]} = a\,(1,\,0,\,1).
Isto significa que partindo de um átomo no canto (0,0,0) e seguindo a direção [101] encontra-se o próximo átomo de canto em (1,0,1) (em coordenadas fracionais da célula). O comprimento desse trecho (distância entre átomos equivalentes ao longo dessa direção) é
L = a\sqrt{1^2+0^2+1^2}=a\sqrt{2}.
  • Visualização prática (como desenhar na prova): desenhe o cubo; marque um canto na frente-esquerda-baixo como origem; a direção [101] vai para a aresta que combina +x e +z (diagonal do plano xz), passando do canto dianteiro-inferior ao canto traseiro-superior adjacente no mesmo plano y.

Passo 3

Representação do plano (222) (explicando por que reduzo para (111) e como localizar o plano):
  • Miller indices (hkl) são reciprocais dos pontos de intercepto com os eixos (em unidades de a). Quando há fator comum, a orientação do plano é a mesma se reduzirmos os índices. Assim (222) é paralelo a (111); (222) não é exactamente o mesmo plano posicionado na cela, mas tem a mesma orientação. Em cristalografia normalmente reduzimos índices: (222)\equiv(111) em orientação.
  • O plano (111) (orientação equivalente) tem equação (em coordenadas fracionárias x,y,z com comprimento de eixo a):
x+y+z=1.
Ele intercepta os eixos nos pontos cartesianamente (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), formando um triângulo no interior da cela. Esse triângulo é a seção do plano dentro da célula unitária que normalmente se usa para calcular a DAP de um plano específico.
  • Área desse triângulo (três pontos formando um triângulo equilátero cujos lados valem a\sqrt{2}):
    • lado s=a\sqrt{2};
    • área do triângulo equilátero: \displaystyle A_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2\cdot2)=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a^2.
  • Observação didática: embora (222) seja paralelo a (111), o conjunto de planos (111) tem espaçamento que inclui planos correspondentes a índices múltiplos; para densidade planar de orientação usamos a mesma geometria do plano reduzido.

Passo 4

Definição e método para calcular a DAL (densidade atômica linear):
  • Definição: DAL é o número de átomos cujos centros estão situados exatamente sobre a direção por unidade de comprimento (átomos por unidade de comprimento).
  • Procedimento prático: encontrar o menor afastamento entre centros de átomos sucessivos ao longo dessa direção (distância de repetição L); então
\text{DAL}=\frac{1}{L}\quad\text{(um átomo a cada passo de repetição)}.áçã
  • Aplicando à direção [101] no reticulado cúbico:
    • Já vimos que a menor translação de rede ao longo de [101] leva de um nó de rede a outro é \vec{R}=a(1,0,1) com comprimento L=a\sqrt{2}.
    • Então há um átomo por intervalo L (pense na sequência de nós ao longo da reta), logo
\text{DAL}=\frac{1}{a\sqrt{2}}.
  • Explicação adicional para não confundir: não estamos dividindo por compartilhamentos de célula; estamos contando átomos ao longo da reta no reticulado infinito — a cada a\sqrt{2} aparece um átomo.

Passo 5

Cálculo numérico da DAL usando a=2{,}866\\ \text{\AA}:
  • Converter a para centímetros:
a=2{,}866\\ \text{\AA}=2{,}866\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Calcular
\text{DAL}=\frac{1}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2{,}866\times10^{-8}\cdot\sqrt{2}}\\ \mathrm{átomos/cm}.á
  • Executando a conta:
\text{DAL}\approx\frac{1}{2{,}866\times10^{-8}\cdot1{,}4142}=\frac{1}{4{,}053\times10^{-8}}\approx2{,}47\times10^{7}\\ \mathrm{átomos/cm}.á
  • Se preferir em unidades por ångström:
\text{DAL}\approx2{,}47\times10^{7}\\ \mathrm{cm^{-1}}=0{,}247\\ \mathrm{átomos/\text{\AA}}.á

Passo 6

Definição e método para calcular a DAP (densidade atômica planar) do plano (222):
  • Definição: DAP é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do plano (átomos por área).
  • Abordagem usada (prática e robusta): escolher a célula 2D primitiva no plano e contar quantos centros atômicos há por célula 2D; então
\text{DAP}=\frac{\text{número de átomos por célula 2D}}{\text{área da célula 2D}}.úáéáé
  • Para o plano (111) (orientação equivalente a (222)), podemos usar o triângulo dentro da célula que tem área A_{\triangle}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 e contém três átomos cujos centros estão nos vértices do triângulo (são cantos da cela).
    • Cada um desses átomos de canto, na contagem do triângulo dentro daquela cela, é compartilhado entre 6 triângulos idênticos adjacentes (razão geométrica: em 3D cada canto pertence a 8 células, mas quando consideramos o pavimento triangular do plano, cada vértice é compartilhado por 6 triângulos do plano).
    • Logo contribuição efetiva de átomos dentro do triângulo: 3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2} átomo por triângulo.
  • Assim
\text{DAP}=\frac{1/2}{A_{\triangle}}=\frac{1/2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{1}{\sqrt{3}\,a^2}=\frac{1}{a^2\sqrt{3}}.
  • Observação conceitual: este resultado também pode ser obtido construindo a célula 2D primitiva do reticulado dentro do plano e constatando que há um nó por célula 2D de área a^2\sqrt{3}, levando ao mesmo resultado.

Passo 7

Cálculo numérico da DAP usando a=2{,}866\\ \text{\AA}:
  • Em centímetros: a=2{,}866\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Calcular
\text{DAP}=\frac{1}{a^2\sqrt{3}}=\frac{1}{(2{,}866\times10^{-8})^2\cdot\sqrt{3}}\\ \mathrm{átomos/cm^2}.á
  • Executando a conta:
a^2=(2{,}866\times10^{-8})^2\approx8{,}214\times10^{-16}\\ \mathrm{cm^2},
a^2\sqrt{3}\approx8{,}214\times10^{-16}\cdot1{,}732\approx1{,}423\times10^{-15}\\ \mathrm{cm^2},
\text{DAP}\approx\frac{1}{1{,}423\times10^{-15}}\approx7{,}03\times10^{14}\\ \mathrm{átomos/cm^2}.á
  • Em unidades por \text{\AA}^2: lembre que 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{16}\\ \text{\AA}^2, logo
\text{DAP}\approx7{,}03\times10^{14}\\ \mathrm{cm^{-2}}=0{,}0703\\ \mathrm{átomos/\text{\AA}^2}.á

Passo 8

Cálculo da densidade volumétrica \rho do ferro (massa por volume) usando a célula CCC:
  • Fórmula geral para densidade:
\rho=\frac{\text{massa por célula}}{\text{volume da célula}}=\frac{n\cdot M}{N_A\cdot a^3},éé
onde n é o número de átomos por célula (para CCC/BCC n=2), M a massa molar (g/mol), N_A Avogadro, e a em cm.
  • Usando M_{\rm Fe}=55{,}85\\ \mathrm{g/mol}, n=2, N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} e a=2{,}866\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}:
    • Massa por célula:
m_{\rm cel}=\frac{n\cdot M}{N_A}=\frac{2\cdot55{,}85}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx\frac{111{,}70}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx1{,}8548\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
  • Volume da célula:
V_{\rm cel}=a^3=(2{,}866\times10^{-8})^3\\ \mathrm{cm^3}\approx2{,}353\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
  • Densidade:
\rho=\frac{1{,}8548\times10^{-22}}{2{,}353\times10^{-23}}\\ \mathrm{g/cm^3}\approx7{,}89\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Esse valor concorda com o valor experimental conhecido para o ferro \alpha (próximo de 7{,}87\\ \mathrm{g/cm^3}), mostrando coerência.

Resposta

Representação da direção [101]: \vec{r}=t\,a(1,0,1), com comprimento de repetição L=a\sqrt{2}.
Representação do plano (222): orientação equivalente a (111); triângulo na cela com interceptos em (a,0,0),(0,a,0),(0,0,a) e área A_{\triangle}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2.
DAL =\dfrac{1}{a\sqrt{2}}\approx2{,}47\times10^{7}\\ \mathrm{átomos/cm}á.
DAP =\dfrac{1}{a^2\sqrt{3}}\approx7{,}03\times10^{14}\\ \mathrm{átomos/cm^{2}}á.
Densidade volumétrica \rho=\dfrac{2\,M_{\rm Fe}}{N_A a^3}\approx7{,}89\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

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