*12.52. De um elevador de carga que está subindo, um homem deixa cair acidentalmente um pacote, quando está a 100 pés do solo. Se o elevador sobe com uma velocidade constante de 4 pés/s, determine a que altura estará o elevador no instante em que o pacote atingir o solo. Desenhe o gráfico v-t para o tempo em que o pacote está em queda livre. Suponha que o pacote foi solto com a mesma velocidade do elevador.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento unidimensional sob aceleração constante (queda livre), em que um pacote é solto de um elevador que sobe a velocidade constante de 4,ft/s a 100,ft do solo. Vamos usar as equações da cinemática para MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado) com aceleração a=-g=-32,ft/ s^{2} e determinar:
  1. O tempo que o pacote leva para atingir o solo.
  2. A altura do elevador nesse instante.
  3. O gráfico v t durante a queda do pacote.

Passo 2

Escolhemos eixo vertical com origem no solo e sentido positivo para cima. A posição do pacote em função do tempo é dada por
y(t)=y_{0}+v_{0}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2},
onde y_{0}=100,ft, v_{0}=+4,ft/s (mesma do elevador para cima), g=32,ft/ s^{2}.
Para encontrar o instante em que atinge o solo, impomos y(t)=0.

Passo 3

Da condição y(t)=0 vem
\tfrac12\,g\,t^{2}-v_{0}\,t-y_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad 16\,t^{2}-4\,t-100=0.
O discriminante é
\Delta =(-4)^{2}-4\cdot16\cdot(-100)=16+6400=6416,
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t=\frac{4\pm\sqrt{6416}}{32} \quad\Longrightarrow\quad t\approx\frac{4+80{,}10}{32}=2{,}63\text{ s}
(consideramos a raiz positiva).

Passo 4

O elevador sobe com v_{\rm elev}=4,ft/s partindo de 100,ft em t=0. Sua altura é
y_{\rm elev}(t)=100+4\,t.
Em t=2{,}63,s,
y_{\rm elev}(2{,}63)=100+4\cdot2{,}63\approx100+10{,}52=110{,}52\text{ ft}.

Passo 5

A velocidade do pacote varia linearmente por causa da aceleração constante:
v(t)=v_{0}-g\,t=4-32\,t.
No instante t=0, v(0)=+4,ft/s; em t=2{,}63,s,
v(2{,}63)=4-32\cdot2{,}63\approx-80{,}1\text{ ft/s}.
O gráfico v t é, portanto, uma reta decrescente de inclinação -32, passando por (0,4) e (2{,}63,-80{,}1).

Resposta

A altura do elevador quando o pacote atinge o solo é aproximadamente 110{,}52 ft.
O gráfico de v em função de t para o pacote é a reta
v(t)=4-32\,t,
de t=0 a t=2{,}63 s, iniciando em v=+4,ft/s e terminando em v\approx-80{,}1,ft/s.

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