Para os materiais dúcteis temos três critérios de falha mais utilizados, esses são, o critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca), o critério de energia de distorção (Von Mises) e o critério de Coulomb-Mohr. Já para os materiais frágeis temos o critério da máxima tensão normal, o critério de Coulomb-Mohr e o critério de Mohr-modificado. Esboce o envelope
de falha para cada um dos métodos, indique os métodos mais conservadores e menos conservadores. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce, no plano das tensões principais (eixo horizontal \sigma_{2}, eixo vertical \sigma_{1}, com \sigma_{1}>=\sigma_{2}), os contornos de falha para:
• Materiais dúcteis: critério de máxima tensão de cisalhamento (Tresca), critério de energia de distorção (Von Mises) e critério de Coulomb–Mohr.
• Materiais frágeis: critério da máxima tensão normal, critério de Coulomb–Mohr e critério de Mohr‐modificado.
Além disso, indicar qual critério é o mais conservador (menor região de segurança) e o menos conservador (maior região de segurança).

Passo 2

Definimos o espaço de tensões principais em plano-σ ( \sigma_{1}, \sigma_{2}) com \sigma_{1}>=\sigma_{2} e \sigma_{3}=0 (estado plano). O “envelope de falha” é o contorno no qual ocorre a ruptura; dentro desse contorno o material está seguro.

Passo 3

Critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento)
A falha ocorre quando a maior diferença entre dois eixos de tensões atinge a tensão de escoamento σ_y em tração simples. Em plano-σ o contorno satisfaz
|\sigma_{1}-\sigma_{2}|=\sigma_{y},\quad |\sigma_{1}|=\sigma_{y},\quad |\sigma_{2}|=\sigma_{y}.
O esboço é um hexágono regular, com vértices em
(\sigma_{y},0),\;( \sigma_{y},\sigma_{y}),\;(0,\sigma_{y}),\;(-\sigma_{y},0),\;(-\sigma_{y},-\sigma_{y}),\;(0,-\sigma_{y}).

Passo 4

Critério de Von Mises (energia de distorção)
A falha ocorre quando a energia de distorção atinge um valor crítico, equivalente a
\sqrt{\tfrac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{1}-\sigma_{3})^{2}}{2}}=\sigma_{y}.
Em plano-σ ( \sigma_{3}=0) fica
\sigma_{1}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}^{2}=\sigma_{y}^{2}.
O contorno é uma curva fechada contínua (em coordenadas girada dá a impressão de círculo); no esboço ela envolve o hexágono de Tresca.

Passo 5

Critério de Coulomb–Mohr (para dúcteis)
Combina a resistência ao cisalhamento C e o atrito interno \varphi. Em termos de \sigma_{1}\times\sigma_{2} o envelope é um hexágono não regular, com:
– “Teto” de tração em \sigma_{1}=S_{t}
– “Chão” de compressão em \sigma_{2}=-S_{c}
– Laterais inclinadas segundo
\sigma_{1}-\sigma_{2}=2\,C\cos\varphi\pm(\sigma_{1}+\sigma_{2})\sin\varphi.
Se S_{t}=S_{c}=\sigma_{y} e \varphi=0 reduz ao hexágono de Tresca; para \varphi>0 fica alargado se comparado a Tresca mas ainda com arestas planas.

Passo 6

Comparação de conservadorismo (dúcteis)
Mais conservador: Tresca (hexágono menor).
• Intermediário: Coulomb–Mohr (hexágono inclinado, maior que Tresca se \varphi>0).
Menos conservador: Von Mises (região arredondada, maior que ambos).

Passo 7

Critério da máxima tensão normal (frágeis)
A falha dá-se quando qualquer tensão principal atinge limite de tração \sigma_{t} ou compressão \sigma_{c}. O envelope é um retângulo (ou quadrado se \sigma_{t}=\sigma_{c}), com faces em
\sigma_{1}=\sigma_{t},\quad \sigma_{2}=-\sigma_{c},\quad \sigma_{2}=\sigma_{t},\quad \sigma_{1}=-\sigma_{c}.

Passo 8

Critério de Coulomb–Mohr (frágeis)
Semelhante ao dúctil, mas agora \varphi maior (rochas, cerâmicas) e C finito. O envelope é um hexágono assimétrico, com arestas inclinadas tangentes às circunferências de Mohr de diferentes \sigma_{1} e \sigma_{2}.

Passo 9

Critério de Mohr‐modificado (frágeis)
A mesma ideia do Coulomb–Mohr, mas suaviza as quinas do hexágono trocando-as por arcos de círculo que passam pelos vértices do hexágono original, dando um contorno mais arredondado.

Passo 10

Comparação de conservadorismo (frágeis)
Mais conservador: máxima tensão normal (retângulo menor).
• Intermediário: Coulomb–Mohr (hexágono com arestas planas).
Menos conservador: Mohr-modificado (hexágono arredondado, região de segurança maior).

Resposta

Dúcteis – Envelope Tresca (hexágono regular, mais conservador), Coulomb–Mohr (hexágono inclinado, intermediário), Von Mises (curva arredondada, menos conservador).
Frágeis – Envelope máxima tensão normal (retângulo, mais conservador), Coulomb–Mohr (hexágono, intermediário), Mohr-modificado (hexágono arredondado, menos conservador).

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