Uma barra de diâmetro de 40 mm de aço (Sut=690MPa, Sy=580MPa), usinada, deve aguentar uma carga cíclica variando de 0 a 70 kN . Por causa das extremidades e do raio de concentração de tensão de fadiga é de 1,85. Encontre os coeficientes de segurança para Sodeberg, Goodman, e as coordenadas Sa e Sm máximas.

Passo 1

O problema é de fadiga para um eixo de aço usinado de diâmetro d=40 mm, com S_{ut}=690 MPa e S_{y}=580 MPa. A carga axial varia de 0 a 70 kN (logo P_{\min}=0, P_{\max}=70 kN), e há um fator de concentração de tensão à fadiga K_{f}=1{,}85. Vamos usar a teoria de Soderberg e de Goodman para eixos submetidos a tensão alternante e média, calculando primeiro \sigma_{a} e \sigma_{m}, depois incluindo K_{f}, definindo o limite de resistência à fadiga S_{e}\approx0{,}5\,S_{ut} e finalmente obtendo os coeficientes de segurança e os interceptos máximos em (\sigma_{m},\sigma_{a}).

Passo 2

Calcular as tensões nominais de média e alternância a partir da área da seção:
A=\frac{\pi d^{2}}{4} =\frac{\pi\,(0{,}04\,\text{m})^{2}}{4} =1{,}2566\times10^{-3}\,\text{m}^2.
Como P_{\max}=70 kN e P_{\min}=0, a média e a alternância do esforço axial são
P_{m}=\frac{P_{\max}+P_{\min}}{2}=35\,\text{kN},\qquad P_{a}=\frac{P_{\max}-P_{\min}}{2}=35\,\text{kN}.
Portanto as tensões nominais são
\sigma_{m}=\frac{P_{m}}{A} \approx\frac{35\,000}{1{,}2566\times10^{-3}} \approx27{,}85\,\text{MPa}, \quad \sigma_{a}=\frac{P_{a}}{A}\approx27{,}85\,\text{MPa}.

Passo 3

Incluímos o fator de concentração de tensão K_{f} multiplicando \sigma_{m} e \sigma_{a}:
\sigma_{m}'=K_{f}\,\sigma_{m} =1{,}85\times27{,}85\approx51{,}52\,\text{MPa}, \quad \sigma_{a}'=K_{f}\,\sigma_{a} \approx51{,}52\,\text{MPa}.

Passo 4

Estimamos o limite de resistência à fadiga
S_{e}\approx0{,}5\,S_{ut}=0{,}5\times690=345\,\text{MPa}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Soderberg e de Goodman, lembrando que
\frac{\sigma_{m}'}{n\,S_{y}}+\frac{\sigma_{a}'}{n\,S_{e}}=1 \quad\Longrightarrow\quad n_{\text{Soderberg}} =\frac{1}{\dfrac{\sigma_{m}'}{S_{y}}+\dfrac{\sigma_{a}'}{S_{e}}},
\frac{\sigma_{m}'}{n\,S_{ut}}+\frac{\sigma_{a}'}{n\,S_{e}}=1 \quad\Longrightarrow\quad n_{\text{Goodman}} =\frac{1}{\dfrac{\sigma_{m}'}{S_{ut}}+\dfrac{\sigma_{a}'}{S_{e}}}.
Substituindo números:
n_{\text{Soderberg}} =\frac{1}{\tfrac{51{,}52}{580}+\tfrac{51{,}52}{345}} \approx\frac{1}{0{,}0888+0{,}1493} \approx4{,}20,
n_{\text{Goodman}} =\frac{1}{\tfrac{51{,}52}{690}+\tfrac{51{,}52}{345}} \approx\frac{1}{0{,}0747+0{,}1493} \approx4{,}47.

Passo 6

As coordenadas máximas (\sigma_{m},\sigma_{a}) para n=1 são os interceptos das retas de Soderberg e Goodman:
Para Soderberg em n=1:
\text{quando }\sigma_{m}=0,\;\sigma_{a}=S_{e}=345\,\text{MPa}, \quad \text{quando }\sigma_{a}=0,\;\sigma_{m}=S_{y}=580\,\text{MPa}.
Para Goodman em n=1:
\text{quando }\sigma_{m}=0,\;\sigma_{a}=S_{e}=345\,\text{MPa}, \quad \text{quando }\sigma_{a}=0,\;\sigma_{m}=S_{ut}=690\,\text{MPa}.

Resposta

Coeficiente de segurança Soderberg: n_{\mathrm{Soderberg}}\approx4{,}20
Coeficiente de segurança Goodman: n_{\mathrm{Goodman}}\approx4{,}47
Interceptos máximos em (\sigma_{m},\sigma_{a}) para n=1:
Soderberg: \sigma_{a,\max}=345 MPa, \sigma_{m,\max}=580 MPa
Goodman: \sigma_{a,\max}=345 MPa, \sigma_{m,\max}=690 MPa

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