• *12.68. Um ponto material desloca-se com velocidade v=3 raizt e^-0,2 t i+4 e^-0,8 r^2 j m / s, onde t é dado em segundos. Determine o módulo do deslocamento do ponto entre t=0 e t=3 s. Use a regra de Simpson com n=100 para calcular as integrais. Qual é o valor do módulo da aceleração do ponto material quando t=2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá – o enunciado diz que a velocidade do ponto é
v(t)=l3raiz t,e^-0.2t, i;+;4,e^-0.8t^2, jr
A gente precisa de duas coisas:
  1. O deslocamento entre e , isto é
    e depois achar .
  2. O módulo da aceleração em , sabendo que .
    Para isso vamos usar cálculo integral (regra de Simpson) e derivadas (product e chain rule).

Passo 2

Primeiro o deslocamento:
De
Teoria rápida:
  • A gente sabe que com .
  • E com .
    Depois a magnitude do deslocamento é

Passo 3

Regra de Simpson (1/3) com integral0^3f(t),dtapprox h3l[f0+f100 +4sumsubstacki=1i;ímpar^99fi +2sumsubstacki=2i;par^98fir], :
  • O passo é De.
  • Monta-se a soma |Deíe faz o mesmo pra .
    Fazendo as contas (usando uma folha ou planilha) dá aproximadamente
então

Passo 4

Agora a aceleração: vx=3,t^1/2e^-0.2t Longrightarrow ax=vx' =3e^-0.2tl(tfrac12t^-1/2-0.2t^1/2r) =3e^-0.2t1-0.4t2raiz t .
Componente vy=4e^-0.8t^2 Longrightarrow ay=vy'=-6.4,t,e^-0.8t^2 :
Componente :

Passo 5

Avalia em ax(2) =3e^-0.41-0.82raiz2 approx0.142 m/s^2, ay(2)=-6.4cdot2,e^-3.2approx-0.513 m/s^2 :
| a(2)| =raiz0.142^2+(-0.513)^2 approx0.53 m/s^2
Módulo:

Resposta

Deslocamento entre e s: .
Módulo da aceleração em s:

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