*12.76. Um ponto material se move ao longo da curva y= x-(x^2 / 400), onde x e y são expressos em pés. Se o componente x da velocidade é vx=2 pés/s e se mantém constante, determine os módulos da velocidade e da aceleração quando x=20 pés.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo: temos uma partícula que se move na curva
y = x - x^2400,
com x e y em pés. Sabemos que a componente x da velocidade é constante, vx = 2 ft/s. A gente quer, quando x=20 ft, achar:
- o módulo da velocidade | v|,
- o módulo da aceleração | a|.
Conteúdo envolvido: derivadas e regra da cadeia para achar vy = dydt e ay = d^2ydt^2; depois calculamos os módulos dos vetores.

Passo 2

Primeiro, achamos a derivada de y em relação a x, ou seja
y'(x) = dydx = 1 - 2x400 = 1 - x200
Como vx = dxdt, pela regra da cadeia
vy = dydt = y'(x),dxdt = l(1 - x200r),vx

Passo 3

Agora avaliamos em x=20 e vx=2:
y'(20) = 1 - 20200 = 1 - 0.1 = 0.9,
vy = 0.9 times 2 = 1.8 ft/s
O vetor velocidade é (vx,vy)=(2,,1.8), então o módulo é
| v| = raiz2^2 + 1.8^2 = raiz4 + 3.24 = raiz7.24approx 2.69 ft/s

Passo 4

Pra aceleração, note que vx é constante, então
ax = dvxdt = 0
Precisamos de ay = d vydt. Como
vy = y'(x),vx
e vx é constante, diferenciando em relação a t
ay = d vydt = y''(x),dxdt,vx = y''(x),vx^2

Passo 5

Calculamos y''(x):
y''(x) = ddxl(1 - x200r) = -1200
Então, em x=20 e vx=2:
ay = -1200,(2)^2 = -4200 = -0.02 ft/s^2
O vetor aceleração é (0,,-0.02), logo seu módulo é
| a| = raiz0^2 + (-0.02)^2 = 0.02 ft/s^2

Resposta

Módulo da velocidade: | v|approx 2.69 ft/s.
Módulo da aceleração: | a|=0.02 ft/s^2.

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