Um ponto material se move numa curva definida pela parábola
. Se o componente
da velocidade é
pés/s, onde
é dado em segundos, determine a distância do ponto à origem
e o módulo da aceleração quando
. Em
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um ponto se move ao longo da parábola
e que o componente
da velocidade é
com
em segundos. A gente precisa achar, em
s:
- a distância do ponto até a origem
; - o módulo da aceleração.
Conteúdo: cinemática em coordenadas paramétricas (integral para posição, derivada para velocidade e aceleração).
Passo 2
Primeiro a gente acha
integrando
. Lembra que velocidade é derivada da posição, então posição é integral da velocidade.
Como em
temos
, dá
. Então
Passo 3
Agora acha
. A curva impõe
Substitui
:
Passo 4
Distância à origem em função do tempo é
Em
:
Passo 5
Agora a aceleração. Primeiro,
. Como
,
Passo 6
Falta
. Rápido:
- A gente encontra
. - Depois deriva isso de novo pra achar
.
Mas tem um atalho: sabendo que
, vale a regra da cadeia
Então
Daí
Passo 7
Agora substitui
:
Logo
O módulo da aceleração é
Resposta
Distância em
:
pés
Módulo da aceleração em :
pés/s²
Módulo da aceleração em