Um ponto material se move numa curva definida pela parábola y=0,5 x^2. Se o componente x da velocidade é vx=(5 t) pés/s, onde t é dado em segundos, determine a distância do ponto à origem O e o módulo da aceleração quando t=1 s. Em t=0, x=0 e y=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um ponto se move ao longo da parábola
y = 0,5,x^2
e que o componente vx = 5,t(pés/s) da velocidade é
é
com em segundos. A gente precisa achar, em s:
  1. a distância do ponto até a origem ;
  2. o módulo da aceleração.
Conteúdo: cinemática em coordenadas paramétricas (integral para posição, derivada para velocidade e aceleração).

Passo 2

Primeiro a gente acha vx = dxdt=5t longrightarrow x(t)=integral 5t,dt = 52,t^2 + C integrando boxedx(t)=52,t^2 . Lembra que velocidade é derivada da posição, então posição é integral da velocidade.
Como em temos , dá . Então

Passo 3

Agora acha y = 0,5,x^2 . A curva impõe
y(t)=0,5l(tfrac52t^2r)^2 =0,5cdot254,t^4 =258,t^4
Substitui :

Passo 4

Distância à origem em função do tempo é
r(t)=raizx(t)^2 + y(t)^2 =raizl(tfrac52t^2r)^2 + l(tfrac258t^4r)^2
Em x(1)=tfrac52=2,5, y(1)=tfrac258=3,125, :
r(1)=raiz2,5^2 + 3,125^2 =raiz6,25 + 9,765625 =raiz16,015625 approx4,00 pés
é

Passo 5

Agora a aceleração. Primeiro, ax = ddt(5t)=5(pés/s^2) . Como ,
é

Passo 6

Falta vy = dydt = dydx,dxdt =(x),vx porque;dydx=x . Rápido:
  1. A gente encontra vy = x,vx .
  2. Depois deriva isso de novo pra achar ay = dvydt =ddt(x,vx) =dxdt,vx + x,dvxdt =vx^2 + x,ax .
Mas tem um atalho: sabendo que , vale a regra da cadeia
Então
Daí

Passo 7

Agora substitui vx(1)=5cdot1=5, x(1)=2,5, ax=5 :
vy(1)=x(1),vx(1)=2,5cdot5=12,5,
Logo
ay(1)=vx(1)^2 + x(1),ax =5^2 + 2,5cdot5 =25 + 12,5 =37,5(pés/s^2)
|a|=raizax^2 + ay^2 =raiz5^2 + 37,5^2 =raiz25 + 1406,25 approx37,84(pés/s^2) é
O módulo da aceleração é
é

Resposta

Distância em : pés
Módulo da aceleração em : pés/s²

Exercícios relacionados