12.79 Show that the radius
of the moon’s orbit can be determined from the radius
of the earth, the acceleration of gravity
at the surface of the earth, and the time
required for the moon to complete one full revolution about the earth. Compute
knowing that
days, giving the answer in both SI and U.S. customary units.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o raio
da órbita da Lua satisfaz uma expressão em função do raio da Terra
, da aceleração da gravidade na superfície
e do período orbital
. O conteúdo é aplicação da Lei da Gravitação de Newton junto com a condição de aceleração centrípeta para movimento circular. Vamos usar que
(onde
é a massa da Terra) e que em órbita circular a aceleração centrípeta é
com
.
Passo 2
A força gravitacional fornece a aceleração centrípeta, logo em módulo temos
Substituindo
e
, obtemos
Passo 3
Reorganizando a equação do passo anterior para isolar
, temos
Passo 4
Agora basta inserir os valores:
Calculando numericamente
Passo 5
Para converter em unidades americanas, usamos
. Assim
Resposta
Em SI:
.
Em U.S. customary: .
Em U.S. customary: