12.79 Show that the radius r of the moon’s orbit can be determined from the radius R of the earth, the acceleration of gravity g at the surface of the earth, and the time tau required for the moon to complete one full revolution about the earth. Compute r knowing that tau=27.3 days, giving the answer in both SI and U.S. customary units.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o raio r da órbita da Lua satisfaz uma expressão em função do raio da Terra R, da aceleração da gravidade na superfície g e do período orbital tau. O conteúdo é aplicação da Lei da Gravitação de Newton junto com a condição de aceleração centrípeta para movimento circular. Vamos usar que GM=gR^2 (onde M é a massa da Terra) e que em órbita circular a aceleração centrípeta é v^2/r com v=2pi r/tau.

Passo 2

A força gravitacional fornece a aceleração centrípeta, logo em módulo temos
GMr^2 ;=;v^2r
Substituindo v=2pi r/tau e GM=gR^2, obtemos
gR^2r^2 ;=;(2pi r/tau)^2r ;;Longrightarrow;; gR^2r^2 ;=;4pi^2r^2tau^2r ;=;4pi^2rtau^2

Passo 3

Reorganizando a equação do passo anterior para isolar r, temos
4pi^2,r^3tau^2 ;=;gR^2 ;;Longrightarrow;; r^3 ;=;gR^2,tau^24pi^2 ;;Longrightarrow;; r ;=;l(gR^2,tau^24pi^2r)^1/3

Passo 4

Agora basta inserir os valores:
R = 6,371times10^3 m, g = 9,80 m/s^2, tau = 27,3 dias = 27,3times86,400 sapprox2,3587times10^6 s
Calculando numericamente
r = l(9,80,(6,371times10^3)^2,(2,3587times10^6)^24pi^2r)^1/3 approx3,84times10^8 m

Passo 5

Para converter em unidades americanas, usamos 1 m=0,000621371 mi. Assim
r approx3,84times10^8 mtimes0,000621371 mim approx2,39times10^5 mi

Resposta

Em SI: rapprox3,84times10^8 m.
Em U.S. customary: rapprox2,39times10^5 mi.

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