12.80 Communication satellites are placed in a geosynchronous orbit, i.e., in a circular orbit such that they complete one full revolution about the earth in one sidereal day ( 23.934 h ), and thus appear stationary with respect to the ground. Determine (a) the altitude of these satellites above the surface of the earth, (b) the velocity with which they describe their orbit. Give the answers in both SI and U.S. customary units.

Passo 1

O enunciado pede a altitude h acima da superfície da Terra e a velocidade orbital v de um satélite em órbita circular geossíncrona, ou seja, com período
T = 23,934 h = 23,934times3600 s = 86164 s
O conteúdo usado será a igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta,
m,v^2r ;=;G,M!E,mr^2,
e a relação entre período e velocidade em órbita circular,
T ;=;2pi,rv
Também usaremos a terceira lei de Kepler na forma
r^3 ;=;G,M!E,T^24pi^2

Passo 2

Calcular o raio orbital r a partir de
r^3 ;=;G,M!E,T^24pi^2,
onde tomamos
G,M!E = 3,986times10^14 m^3/s^2
Substituindo T=86164 s,
r^3 approx 3,986times10^14times(8,6164times10^4)^24pi^2 approx 7,50times10^22 m^3,
portanto
r approx l(7,50times10^22r)^1/3 approx 4,2164times10^7 m approx 42,164 km

Passo 3

A altitude h acima da superfície da Terra é
h = r - R!E,
com R!E=6,371times10^6 m=6,371 km. Logo, em unidades SI,
h approx 4,2164times10^7 m - 6,371times10^6 m = 3,5793times10^7 m = 35,793 km
Convertendo para milhas ( 1 km=0,621371 mi):
h approx 35,793 kmtimes0,621371 approx 22,250 mi

Passo 4

A velocidade orbital pode ser obtida por
v = 2pi,rT ou v = raizG,M!Er
Usando r=4,2164times10^7 m e T=86164 s,
v = 2pitimes4,2164times10^786164 approx 3,075times10^3 m/s = 3,075 km/s
Convertendo para milhas por hora ( 1 m/s=2,23694 mph):
v approx 3,075times10^3 m/stimes2,23694 approx 6,880 mph

Resposta

(a) Altitude acima da superfície da Terra:
h approx 3,5793times10^7 m = 35,793 km = 22,250 mi
(b) Velocidade orbital:
v approx 3,075times10^3 m/s = 3,075 km/s = 6,880 mph

Exercícios relacionados