12.87 Um skatista deixa a rampa em
com uma velocidade inicial de
em um ângulo de
. Se ele atinge o solo em
, determine
e o tempo de voo.
Passo 1
O enunciado pede dois valores: a velocidade inicial
com que o skatista sai da rampa e o tempo de voo
até atingir o solo em
.
Informações fornecidas (peguei estes números da imagem):
- O ângulo de lançamento é
. - A altura inicial em
em relação ao solo é . - A distância horizontal entre a projeção vertical de
no solo e o ponto é .
Observação: não há outras informações numéricas no enunciado/imagem; assumiremos a gravidade
.
Passo 2
Definimos um sistema de referência conveniente:
- eixo
: horizontal, positivo para a direita; - eixo
: vertical, positivo para cima; - origem no solo, na projeção vertical do ponto
(ou seja, a posição inicial do skatista tem coordenadas e ).
Seja
a velocidade inicial escalar em
. Decompomos essa velocidade nas componentes:
Explicando: a componente horizontal
mantém-se constante (não há aceleração horizontal), e a componente vertical
será afetada pela aceleração
.
Passo 3
Escrevemos as equações do movimento do projétil (movimento com aceleração vertical
e aceleração horizontal zero):
- posição horizontal em função do tempo:
- posição vertical em função do tempo:
O impacto em
corresponde a
e
.
Passo 4
Usamos a equação horizontal para relacionar
e
:
Explicação: como
, basta isolar
.
Passo 5
Substituímos a expressão de
na equação vertical com
:
Como
, temos
. Substituindo
:
Note que o
cancela nessa parcela — isso é um truque útil que simplifica a equação. Assim a equação vertical vira:
Passo 6
Simplificamos usando
. Então
e
A equação para
fica
Agora calculamos numericamente com
.
Primeiro calcule . Como
,
Primeiro calcule
Então
Agora
Logo
Passo 7
Com o valor de
encontramos
usando
. Usando
:
Substituindo numericamente
e
:
Passo 8
Interpretação rápida e checagem: tempo de voo menor que 1 s e velocidade inicial moderada
parecem razoáveis para uma queda de apenas
e alcance horizontal de
. Se quiser, dá para checar substituindo estes valores nas equações originais e verificar que
e
.