12.87 Um skatista deixa a rampa em A com uma velocidade inicial de v_{a} em um ângulo de 30^{\circ}. Se ele atinge o solo em B, determine v_{a} e o tempo de voo.

Passo 1

O enunciado pede dois valores: a velocidade inicial v_a com que o skatista sai da rampa e o tempo de voo t até atingir o solo em B.
Informações fornecidas (peguei estes números da imagem):
  • O ângulo de lançamento é \,30^\circ.
  • A altura inicial em A em relação ao solo é \,1\\ \mathrm{m}.
  • A distância horizontal entre a projeção vertical de A no solo e o ponto B é \,5\\ \mathrm{m}.
Observação: não há outras informações numéricas no enunciado/imagem; assumiremos a gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Definimos um sistema de referência conveniente:
  • eixo x: horizontal, positivo para a direita;
  • eixo y: vertical, positivo para cima;
  • origem no solo, na projeção vertical do ponto A (ou seja, a posição inicial do skatista tem coordenadas x_0=0 e y_0=1\\ \mathrm{m}).
Seja v_a a velocidade inicial escalar em A. Decompomos essa velocidade nas componentes:
v_{ax}=v_a\cos 30^\circ,\qquad v_{ay}=v_a\sin 30^\circ.
Explicando: a componente horizontal v_{ax} mantém-se constante (não há aceleração horizontal), e a componente vertical v_{ay} será afetada pela aceleração -g.

Passo 3

Escrevemos as equações do movimento do projétil (movimento com aceleração vertical -g e aceleração horizontal zero):
  • posição horizontal em função do tempo:
x(t)=x_0+v_{ax}\,t = v_a\cos 30^\circ\; t.
  • posição vertical em função do tempo:
y(t)=y_0+v_{ay}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2 = 1 + v_a\sin 30^\circ\; t - \tfrac{1}{2}g t^2.
O impacto em B corresponde a x=5\\ \mathrm{m} e y=0.

Passo 4

Usamos a equação horizontal para relacionar v_a e t:
5 = v_a\cos 30^\circ\; t \quad\Rightarrow\quad v_a=\frac{5}{\cos 30^\circ\; t}.
Explicação: como x(t)=v_a\cos30^\circ\;t, basta isolar v_a.

Passo 5

Substituímos a expressão de v_a na equação vertical com y=0:
0 = 1 + v_a\sin 30^\circ\; t - \tfrac{1}{2}g t^2.
Como \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}, temos v_a\sin30^\circ\;t = v_a\frac{1}{2}t. Substituindo v_a=\dfrac{5}{\cos30^\circ\;t}:
v_a\frac{1}{2}t = \frac{1}{2}t\cdot\frac{5}{\cos30^\circ\;t} = \frac{5}{2\cos30^\circ}.
Note que o t cancela nessa parcela — isso é um truque útil que simplifica a equação. Assim a equação vertical vira:
0 = 1 + \frac{5}{2\cos30^\circ} - \tfrac{1}{2}g t^2.

Passo 6

Simplificamos usando \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então 2\cos30^\circ=\sqrt{3} e
\frac{5}{2\cos30^\circ}=\frac{5}{\sqrt{3}}.
A equação para t^2 fica
\tfrac{1}{2}g t^2 = 1 + \frac{5}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad t^2 = \frac{2}{g}\left(1 + \frac{5}{\sqrt{3}}\right).
Agora calculamos numericamente com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Primeiro calcule \dfrac{5}{\sqrt{3}}. Como \sqrt{3}\approx1{,}73205,
\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 2{,}88675.
Então
1+\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 3{,}88675.
Agora
t^2 \approx \frac{2}{9{,}81}\times 3{,}88675 \approx 0{,}20387\times 3{,}88675 \approx 0{,}7927.
Logo
t \approx \sqrt{0{,}7927}\approx 0{,}890\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Com o valor de t encontramos v_a usando v_a=\dfrac{5}{\cos30^\circ\; t}. Usando \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_a=\frac{5}{(\sqrt{3}/2)\,t}=\frac{10}{\sqrt{3}\,t}.
Substituindo numericamente \sqrt{3}\approx1{,}73205 e t\approx0{,}890\\ \mathrm{s}:
v_a \approx \frac{10}{1{,}73205\times 0{,}890}\approx \frac{10}{1{,}54198}\approx 6{,}48\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem: tempo de voo menor que 1 s e velocidade inicial moderada \sim 6{,}5\\ \mathrm{m/s} parecem razoáveis para uma queda de apenas 1\\ \mathrm{m} e alcance horizontal de 5\\ \mathrm{m}. Se quiser, dá para checar substituindo estes valores nas equações originais e verificar que x( t )\approx5 e y( t )\approx0.

Resposta

v_a=6{,}48\\ \mathrm{m/s}
t=0{,}890\\ \mathrm{s}

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