8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12 mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p=1,4 \mathrm{MPa}, determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa .

Passo 1

O enunciado pede que seja determinado o raio externo de um tanque esférico, dado que a espessura da parede é 12\\ \mathrm{mm}, a pressão interna é p=1,4\\ \mathrm{MPa} e a tensão normal máxima admissível é 105\\ \mathrm{MPa}.
Dados fornecidos (já listados claramente):
t=12\\ \mathrm{mm},\qquad p=1,4\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\max}=105\\ \mathrm{MPa}.
O que devemos encontrar: o raio externo r_o da casca esférica que garanta \sigma\le\sigma_{\max}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona pressão com a tensão em uma casca esférica fina e derivá-la brevemente (para entender de onde vem). Considere uma esfera de raio interno r e espessura t. Corte a esfera ao meio (hemisfério) e faça o equilíbrio vertical das forças:
  • Força resultante da pressão sobre a seção circular: F_p = p\cdot \pi r^{2}.
  • Força resistente nas bordas devido à tensão de membrana: seja N a força por unidade de comprimento na parede (unidade \mathrm{N/m}); a resultante ao longo da circunferência vale F_\sigma = 2\pi r\cdot N.
Equilibrando as forças verticais:
p\pi r^{2}=2\pi r\cdot N.
Daí
N=\frac{p r}{2}.
A tensão normal \sigma (força por área de seção transversal da parede) é a força por unidade de comprimento dividida pela espessura:
\sigma=\frac{N}{t}=\frac{p r}{2t}.
Essa é a fórmula padrão para uma casca esférica fina: \displaystyle \sigma=\frac{p r}{2t}. Aqui r é o raio (interno, ou aproximadamente o raio médio quando t é pequeno).

Passo 3

Explicar as variáveis e converter unidades para o SI (m e Pa), porque vamos calcular sem calculadora pesada:
t=12\\ \mathrm{mm}=0,012\\ \mathrm{m}, \qquad p=1,4\\ \mathrm{MPa}=1,4\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \sigma_{\max}=105\\ \mathrm{MPa}=105\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Na fórmula \sigma=\dfrac{p r}{2t}, \sigma tem unidade de Pa, p de Pa, r de m e t de m.

Passo 4

Isolar o raio r a partir da fórmula, impondo \sigma=\sigma_{\max} (caso limite):
\sigma_{\max}=\frac{p r}{2t} \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2t\,\sigma_{\max}}{p}.

Passo 5

Fazer a conta passo a passo substituindo os valores (mostrando os passos aritméticos):
Calcule a razão \dfrac{\sigma_{\max}}{p}:
\frac{\sigma_{\max}}{p}=\frac{105\times10^{6}}{1,4\times10^{6}}= \frac{105}{1,4}=75.
Agora
r=2\cdot t\cdot\frac{\sigma_{\max}}{p}=2\cdot0,012\cdot75.
Multiplicando:
r=0,024\cdot75=1,8\\ \mathrm{m}.
Portanto o raio interno calculado (ou raio médio, no modelo fino) é r=1,8\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o raio externo r_o. O raio externo é o raio interno mais a espessura:
r_o=r+t=1,8+0,012=1,812\\ \mathrm{m}.
Em milímetros isso é r_o=1812\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida da hipótese de casca fina: o parâmetro \dfrac{t}{r}=\dfrac{0,012}{1,8}=0,00667, ou seja menor que 0,1. Portanto a aproximação de casca fina é válida e o uso da fórmula \sigma=\dfrac{p r}{2t} é apropriado.

Passo 8

Resumo e incentivo: então, com as contas direitinhas, o tanque precisa ter raio externo de cerca de 1,812\\ \mathrm{m} para que a tensão não exceda 105\\ \mathrm{MPa}. Mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de derivação por equilíbrio sempre cai em prova; guarda a fórmula \sigma=\dfrac{p r}{2t} para esferas e lembra sempre de checar t/r.

Resposta

r_o=1,812\\ \mathrm{m}

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