8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12 mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna
, determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa .
Passo 1
O enunciado pede que seja determinado o raio externo de um tanque esférico, dado que a espessura da parede é
, a pressão interna é
e a tensão normal máxima admissível é
.
Dados fornecidos (já listados claramente):
Dados fornecidos (já listados claramente):
O que devemos encontrar: o raio externo
da casca esférica que garanta
.
Passo 2
Apresentar a fórmula que relaciona pressão com a tensão em uma casca esférica fina e derivá-la brevemente (para entender de onde vem). Considere uma esfera de raio interno
e espessura
. Corte a esfera ao meio (hemisfério) e faça o equilíbrio vertical das forças:
- Força resultante da pressão sobre a seção circular:
. - Força resistente nas bordas devido à tensão de membrana: seja
a força por unidade de comprimento na parede (unidade ); a resultante ao longo da circunferência vale .
Equilibrando as forças verticais:
Daí
A tensão normal
(força por área de seção transversal da parede) é a força por unidade de comprimento dividida pela espessura:
Essa é a fórmula padrão para uma casca esférica fina:
. Aqui
é o raio (interno, ou aproximadamente o raio médio quando
é pequeno).
Passo 3
Explicar as variáveis e converter unidades para o SI (m e Pa), porque vamos calcular sem calculadora pesada:
Na fórmula
,
tem unidade de Pa,
de Pa,
de m e
de m.
Passo 4
Isolar o raio
a partir da fórmula, impondo
(caso limite):
Passo 5
Fazer a conta passo a passo substituindo os valores (mostrando os passos aritméticos):
Calcule a razão :
Calcule a razão
Agora
Multiplicando:
Portanto o raio interno calculado (ou raio médio, no modelo fino) é
.
Passo 6
Calcular o raio externo
. O raio externo é o raio interno mais a espessura:
Em milímetros isso é
.
Passo 7
Verificação rápida da hipótese de casca fina: o parâmetro
, ou seja menor que
. Portanto a aproximação de casca fina é válida e o uso da fórmula
é apropriado.
Passo 8
Resumo e incentivo: então, com as contas direitinhas, o tanque precisa ter raio externo de cerca de
para que a tensão não exceda
. Mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de derivação por equilíbrio sempre cai em prova; guarda a fórmula
para esferas e lembra sempre de checar
.