A caixa de tamanho desprezivel está deslizando para baixo ao longo de uma trajetoria curva definida pela parábola
. Quando ela está em
, a velocidade escalar é
e o aumento na velocidade escalar e
.
Determine a intensidade da aceleração da caixa nesse instante.
Determine a intensidade da aceleração da caixa nesse instante.
Passo 1
O problema pede a intensidade (módulo) da aceleração da caixa no instante em que ela está em
. Informações dadas (peguei estes dados da imagem do enunciado):
- A trajetória é a parábola
. - A posição do ponto
tem coordenada ; a ordenada correspondente é então . - A velocidade escalar no ponto
é . - A taxa de variação da velocidade escalar (aceleração tangencial) é
.
O que se pede: determinar a intensidade
do vetor aceleração naquele instante.
Passo 2
Conceito importante — decomposição da aceleração em movimento plano ao longo de uma curva:
A aceleração vetorial pode ser decomposta nas componentes tangencial e normal à trajetória:
A aceleração vetorial pode ser decomposta nas componentes tangencial e normal à trajetória:
Aqui:
-
é a componente tangencial e mede a variação da rapidez; vale
-
é a componente normal (também chamada aceleração centrípeta) que aponta para o centro da curvatura e tem módulo
onde
é o raio de curvatura da trajetória no ponto considerado.
Para uma curva dada por
, a fórmula do raio de curvatura é
onde
e
. Essa fórmula vem da definição de curvatura
e da expressão de
em coordenada cartesiana:
Passo 3
Calcular as derivadas de
:
Avalia em
:
Passo 4
Calcular o raio de curvatura
no ponto
. Primeiro calcule
:
Agora
Portanto
Passo 5
Calcular a componente normal
:
Passo 6
A componente tangencial é dada (é a variação da rapidez):
A intensidade total da aceleração é a norma do vetor formado por
e
: