A caixa de tamanho desprezivel está deslizando para baixo ao longo de uma trajetoria curva definida pela parábola \mathrm{y}=0,4 \mathrm{x}^{2}. Quando ela está em \mathrm{A}\left(\mathrm{xa}=2 \mathrm{~m}, \mathrm{v}_{\mathrm{a}}=1,6 \mathrm{~m}\right), a velocidade escalar é \mathrm{v}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o aumento na velocidade escalar e \mathrm{dv} / \mathrm{dt}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine a intensidade da aceleração da caixa nesse instante.

Passo 1

O problema pede a intensidade (módulo) da aceleração da caixa no instante em que ela está em A. Informações dadas (peguei estes dados da imagem do enunciado):
  • A trajetória é a parábola \,y=0,4x^{2}.
  • A posição do ponto A tem coordenada x_{A}=2\\ \text{m}; a ordenada correspondente é então y_{A}=0,4\cdot 2^{2}=1,6\\ \text{m}.
  • A velocidade escalar no ponto A é \,v=8\\ \mathrm{m/s}.
  • A taxa de variação da velocidade escalar (aceleração tangencial) é \dfrac{dv}{dt}=4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se pede: determinar a intensidade \,a= \lVert \mathbf{a}\rVert do vetor aceleração naquele instante.

Passo 2

Conceito importante — decomposição da aceleração em movimento plano ao longo de uma curva:
A aceleração vetorial pode ser decomposta nas componentes tangencial e normal à trajetória:
\mathbf{a}=a_{t}\,\hat{t}+a_{n}\,\hat{n}.
Aqui:
  • a_{t} é a componente tangencial e mede a variação da rapidez; vale
a_{t}=\frac{dv}{dt}.
  • a_{n} é a componente normal (também chamada aceleração centrípeta) que aponta para o centro da curvatura e tem módulo
a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho},
onde \rho é o raio de curvatura da trajetória no ponto considerado.
Para uma curva dada por y=y(x), a fórmula do raio de curvatura é
\rho=\frac{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}{|y''|},
onde y'=\dfrac{dy}{dx} e y''=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Essa fórmula vem da definição de curvatura \kappa=1/\rho e da expressão de \kappa em coordenada cartesiana:
\kappa=\frac{|y''|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(x)=0,4x^{2}:
y'=\frac{dy}{dx}=0,8x, \qquad y''=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0,8.
Avalia em x_{A}=2\\ \text{m}:
y'(2)=0,8\cdot 2=1,6, \qquad y''(2)=0,8.

Passo 4

Calcular o raio de curvatura \rho no ponto A. Primeiro calcule 1+(y')^{2}:
1+(y')^{2}=1+(1,6)^{2}=1+2,56=3,56.
Agora
\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}=(3,56)^{3/2}=3,56\sqrt{3,56}\approx 3,56\cdot 1,887\approx 6,7227.
Portanto
\rho=\frac{(1+(y')^{2})^{3/2}}{y''}=\frac{6,7227}{0,8}\approx 8,4034\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a componente normal a_{n}:
a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}=\frac{8^{2}}{8,4034}=\frac{64}{8,4034}\approx 7,62\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

A componente tangencial é dada (é a variação da rapidez):
a_{t}=\frac{dv}{dt}=4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A intensidade total da aceleração é a norma do vetor formado por a_{t} e a_{n}:
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{4^{2}+7,62^{2}}=\sqrt{16+58,06}\approx\sqrt{74,06}\approx 8,60\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

8,60\\ \mathrm{m/s^{2}}

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