4.12 Um automóvel parte do repouso com aceleração constante a e uma das portas totalmente aberta (fazendo
com o corpo do veículo). Se a porta é um retângulo homogêneo de largura
e altura
, prove que o tempo transcorrido até o fechamento da porta é
Se
e
, mostre que
. Sugestões: (i) No referencial do carro, o problema é formalmente idêntico ao de uma porta girando em torno de um eixo fixo horizontal sob a ação de um campo gravitacional constante. (ii) Calcule numericamente a integral ou procure o seu valor em alguma tabela.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
-
Informações dadas:
- Um automóvel parte do repouso com aceleração constante
. - Uma porta do carro está totalmente aberta, formando
com o corpo do veículo. - A porta é um retângulo homogêneo de largura
(distância do eixo da dobradiça até a beirada) e altura . - Condição inicial: a porta está em
(aberta) e parte do repouso (velocidade angular nula).
- Um automóvel parte do repouso com aceleração constante
-
O que é pedido:
- Provar que o tempo transcorrido até o fechamento da porta (chegar a
) é - Para
e , mostrar numericamente que .
- Provar que o tempo transcorrido até o fechamento da porta (chegar a
Passo 2
Entendendo a física do problema (explicação didática): ao trabalhar no referencial do carro que acelera para frente com aceleração
, aparece uma força inercial uniforme equivalente a um campo “gravítico” horizontal de intensidade
apontando para trás. Ou seja, cada elemento de massa da porta sente uma força
dirigida para trás. Essa força produz um torque em torno da dobradiça que faz a porta girar até fechar. Formalmente o problema fica idêntico ao de uma lâmina rígida vertical girando em torno de uma aresta fixa sob a ação de um campo uniforme (gravidade) com intensidade
. Não preciso supor nada sobre
porque a distribuição de massa ao longo da altura não altera o momento de inércia em relação ao eixo vertical ao longo da aresta: a massa está distribuída ao longo de
que é o que importa para a rotação no plano horizontal.
Passo 3
Cálculo do torque resultante sobre a porta usando o centro de massa (explicação didática):
- A força inercial total é
, onde é a massa da porta. - O braço de alavanca (distância horizontal do eixo até o centro de massa) é
porque a porta é homogênea e o centro de massa fica no meio da largura. - Quando a porta forma um ângulo
com a posição fechada ( fechada, aberta), a componente perpendicular que causa torque é proporcional a . - Portanto o módulo do torque (momento) em torno da dobradiça é
(sinal: esse torque tende a diminuir , isto é, produz aceleração angular negativa quando é medido a partir de ; neste passo estamos só obtendo o módulo e a dependência em .)
Passo 4
Momento de inércia da porta em relação à dobradiça (explicação didática):
- Para uma barra fina de comprimento
e massa girando em torno de uma aresta perpendicular ao comprimento, o momento de inércia é . - A porta rectangular homogênea, desprezando espessura, tem distribuição de massa ao longo de
que dá o mesmo resultado para o momento em torno da aresta vertical: - Observação didática: o momento de inércia mede a resistência rotacional à mudança de velocidade angular; quanto mais longe a massa do eixo, maior
.
Passo 5
Equação do movimento rotacional (passo a passo):
- A segunda lei rotacional é
, onde o sinal negativo indica que o torque diminui . - Substituindo
e : - Simplificando (dividindo por
e por quando possível): - Defino a constante
de modo que a equação fica (Essa é uma equação não linear análoga à do pêndulo, pois envolve .)
Passo 6
Integração por método energético (explicação didática e detalhada):
- Multiplico a equação por
e uso que e que com sinal adequado. Assim: implica - Integro em
entre as condições iniciais (no instante inicial temos e ) e um instante genérico : Avaliando a constante em : e , logo constante . Portanto Rearranjando: Mas atenção ao sinal: como varia de para , aumenta de para ; para obter positivo, convém escrever corretamente a energia a partir da forma anteriormente integrada. Refazendo de maneira segura (integração direta feita corretamente) obtemos porque . Assim: onde escolhemos o sinal negativo porque decresce no movimento (a porta fecha). - Para obter
em função de fazemos separação de variáveis: - O tempo para ir de
a é
Passo 7
Transformação para a forma pedida (usar substituição trigonométrica):
- A integral que obtivemos tem
no denominador, enquanto a forma do enunciado usa . Faço a substituição . Então quando vai de a , vai de a , e . Além disso . - Aplicando isso:
- Assim posso reescrever o tempo como
(aqui, apenas renomeei de volta para para ficar estética).
Passo 8
Substituição de
e simplificação final:
- Lembrando que
, temos - Portanto o tempo fica exatamente
que é a expressão que o enunciado pede para provar.
Passo 9
Cálculo numérico da integral e do tempo para
e
(explicação didática):
- Primeiro avalio o fator fora da integral:
- Agora a integral
é uma integral conhecida que pode ser expressa com a função Beta/Gamma, mas para fins práticos eu a avalio numericamente. Usando valores tabulados ou uma avaliação numérica (ou a relação com funções Gamma) obtém-se (Se quiser a origem: , e essa expressão leva ao mesmo valor numérico.) - Finalmente
Arredondando, , como o enunciado pede que se mostre.
Resposta
Para