4.12 Um automóvel parte do repouso com aceleração constante a e uma das portas totalmente aberta (fazendo 90^{\circ} com o corpo do veículo). Se a porta é um retângulo homogêneo de largura l e altura h, prove que o tempo transcorrido até o fechamento da porta é
t=\sqrt{\frac{l}{3 a}} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \theta}{\sqrt{\operatorname{sen} \theta}}
Se l=1,2 m e a=0,3 m / s^{2}, mostre que t \approx 3 s. Sugestões: (i) No referencial do carro, o problema é formalmente idêntico ao de uma porta girando em torno de um eixo fixo horizontal sob a ação de um campo gravitacional constante. (ii) Calcule numericamente a integral ou procure o seu valor em alguma tabela.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Informações dadas:
    • Um automóvel parte do repouso com aceleração constante a.
    • Uma porta do carro está totalmente aberta, formando 90^\circ com o corpo do veículo.
    • A porta é um retângulo homogêneo de largura l (distância do eixo da dobradiça até a beirada) e altura h.
    • Condição inicial: a porta está em \theta=\pi/2 (aberta) e parte do repouso (velocidade angular nula).
  • O que é pedido:
    1. Provar que o tempo transcorrido até o fechamento da porta (chegar a \theta=0) é t=\sqrt{\frac{l}{3 a}} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \theta}{\sqrt{\operatorname{sen} \theta}}.
    2. Para l=1,2\\ \mathrm{m} e a=0,3\\ \mathrm{m/s^{2}}, mostrar numericamente que t\approx 3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo a física do problema (explicação didática): ao trabalhar no referencial do carro que acelera para frente com aceleração a, aparece uma força inercial uniforme equivalente a um campo “gravítico” horizontal de intensidade a apontando para trás. Ou seja, cada elemento de massa da porta sente uma força \mathrm{d}F = \mathrm{d}m\; a dirigida para trás. Essa força produz um torque em torno da dobradiça que faz a porta girar até fechar. Formalmente o problema fica idêntico ao de uma lâmina rígida vertical girando em torno de uma aresta fixa sob a ação de um campo uniforme (gravidade) com intensidade g_{\rm eq}=a. Não preciso supor nada sobre h porque a distribuição de massa ao longo da altura não altera o momento de inércia em relação ao eixo vertical ao longo da aresta: a massa está distribuída ao longo de l que é o que importa para a rotação no plano horizontal.

Passo 3

Cálculo do torque resultante sobre a porta usando o centro de massa (explicação didática):
  • A força inercial total é F_{\rm total}=m a, onde m é a massa da porta.
  • O braço de alavanca (distância horizontal do eixo até o centro de massa) é x_{\rm cm}=l/2 porque a porta é homogênea e o centro de massa fica no meio da largura.
  • Quando a porta forma um ângulo \theta com a posição fechada ( \theta=0 fechada, \theta=\pi/2 aberta), a componente perpendicular que causa torque é proporcional a \sin\theta.
  • Portanto o módulo do torque (momento) em torno da dobradiça é \tau = m a \left(\frac{l}{2}\right)\sin\theta.(sinal: esse torque tende a diminuir \theta, isto é, produz aceleração angular negativa quando \theta é medido a partir de 0; neste passo estamos só obtendo o módulo e a dependência em \sin\theta.)

Passo 4

Momento de inércia da porta em relação à dobradiça (explicação didática):
  • Para uma barra fina de comprimento l e massa m girando em torno de uma aresta perpendicular ao comprimento, o momento de inércia é I=\tfrac{1}{3} m l^{2}.
  • A porta rectangular homogênea, desprezando espessura, tem distribuição de massa ao longo de l que dá o mesmo resultado para o momento em torno da aresta vertical: I=\frac{1}{3} m l^{2}.
  • Observação didática: o momento de inércia mede a resistência rotacional à mudança de velocidade angular; quanto mais longe a massa do eixo, maior I.

Passo 5

Equação do movimento rotacional (passo a passo):
  • A segunda lei rotacional é I\ddot\theta = -\tau, onde o sinal negativo indica que o torque diminui \theta.
  • Substituindo \tau e I: \frac{1}{3} m l^{2}\,\ddot\theta = - m a \left(\frac{l}{2}\right)\sin\theta.
  • Simplificando (dividindo por m e por l quando possível): \ddot\theta = -\frac{3a}{2l}\sin\theta.
  • Defino a constante \omega_{0}^{2}=\frac{3a}{2l},de modo que a equação fica \ddot\theta + \omega_{0}^{2}\sin\theta = 0.(Essa é uma equação não linear análoga à do pêndulo, pois envolve \sin\theta.)

Passo 6

Integração por método energético (explicação didática e detalhada):
  • Multiplico a equação por \dot\theta e uso que \dot\theta\ddot\theta=\tfrac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}\dot\theta^{2}\right) e que \sin\theta\,\dot\theta=\tfrac{d}{dt}(-\cos\theta) com sinal adequado. Assim: \dot\theta\,\ddot\theta + \omega_{0}^{2}\sin\theta\,\dot\theta = 0implica \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\dot\theta^{2}\right)+\omega_{0}^{2}\frac{d}{dt}(\cos\theta)=0.
  • Integro em t entre as condições iniciais (no instante inicial t=0 temos \theta(\,0\,)=\pi/2 e \dot\theta(0)=0) e um instante genérico t: \frac{1}{2}\dot\theta^{2}+\omega_{0}^{2}\cos\theta = \text{constante}.Avaliando a constante em t=0: \dot\theta(0)=0 e \cos(\pi/2)=0, logo constante =0. Portanto \frac{1}{2}\dot\theta^{2} + \omega_{0}^{2}\cos\theta = 0.Rearranjando: \frac{1}{2}\dot\theta^{2} = \omega_{0}^{2}\bigl(-\cos\theta\bigr).Mas atenção ao sinal: como \theta varia de \pi/2 para 0, \cos\theta aumenta de 0 para 1; para obter \dot\theta^{2} positivo, convém escrever corretamente a energia a partir da forma anteriormente integrada. Refazendo de maneira segura (integração direta feita corretamente) obtemos \frac{1}{2}\dot\theta^{2} = \omega_{0}^{2}\bigl(\cos\theta - \cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \omega_{0}^{2}\cos\theta,porque \cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Assim: \dot\theta = -\sqrt{2}\,\omega_{0}\sqrt{\cos\theta},onde escolhemos o sinal negativo porque \theta decresce no movimento (a porta fecha).
  • Para obter t em função de \theta fazemos separação de variáveis: dt = \frac{d\theta}{\dot\theta} = -\frac{d\theta}{\sqrt{2}\,\omega_{0}\sqrt{\cos\theta}}.
  • O tempo para ir de \theta=\pi/2 a \theta=0 é t=\int_{0}^{t} dt = \int_{\pi/2}^{0} -\frac{d\theta}{\sqrt{2}\,\omega_{0}\sqrt{\cos\theta}} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\omega_{0}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta}}.

Passo 7

Transformação para a forma pedida (usar substituição trigonométrica):
  • A integral que obtivemos tem \sqrt{\cos\theta} no denominador, enquanto a forma do enunciado usa \operatorname{sen}\theta. Faço a substituição \varphi=\tfrac{\pi}{2}-\theta. Então quando \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}, \varphi vai de \tfrac{\pi}{2} a 0, e d\varphi=-d\theta. Além disso \cos\theta=\sin\varphi.
  • Aplicando isso: \int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta}} = \int_{\pi/2}^{0}\frac{-d\varphi}{\sqrt{\sin\varphi}} = \int_{0}^{\pi/2}\frac{d\varphi}{\sqrt{\sin\varphi}}.
  • Assim posso reescrever o tempo como t=\frac{1}{\sqrt{2}\,\omega_{0}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\operatorname{sen}\theta}}.(aqui, apenas renomeei \varphi de volta para \theta para ficar estética).

Passo 8

Substituição de \omega_{0} e simplificação final:
  • Lembrando que \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{3a}{2l}}, temos \frac{1}{\sqrt{2}\,\omega_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\frac{2l}{3a}}=\sqrt{\frac{l}{3a}}.
  • Portanto o tempo fica exatamente t=\sqrt{\frac{l}{3a}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\operatorname{sen}\theta}},que é a expressão que o enunciado pede para provar.

Passo 9

Cálculo numérico da integral e do tempo para l=1{,}2\\ \mathrm{m} e a=0{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}} (explicação didática):
  • Primeiro avalio o fator fora da integral: \sqrt{\frac{l}{3a}}=\sqrt{\frac{1{,}2}{3\cdot 0{,}3}}=\sqrt{\frac{1{,}2}{0{,}9}}=\sqrt{\tfrac{4}{3}}=\sqrt{1{,}333\ldots}\approx 1{,}154700538.
  • Agora a integral I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\operatorname{sen}\theta}}é uma integral conhecida que pode ser expressa com a função Beta/Gamma, mas para fins práticos eu a avalio numericamente. Usando valores tabulados ou uma avaliação numérica (ou a relação com funções Gamma) obtém-se I\approx 2{,}622057554.(Se quiser a origem: I=\tfrac{1}{2}B(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\dfrac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3/4)}, e essa expressão leva ao mesmo valor numérico.)
  • Finalmente t \approx 1{,}154700538 \times 2{,}622057554 \approx 3{,}0259\\ \mathrm{s}.Arredondando, t\approx 3{,}0\\ \mathrm{s}, como o enunciado pede que se mostre.

Resposta

t=\sqrt{\dfrac{l}{3 a}}\displaystyle\int_{0}^{\pi / 2}\dfrac{d \theta}{\sqrt{\operatorname{sen}\theta}}\n
Para l=1{,}2\\ \mathrm{m} e a=0{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}: t\approx 3{,}0\\ \mathrm{s}

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