Uma partícula é disparada verticalmente com velocidade inicial
, atinge uma altura máxima e retorna ao solo. Mostre que a deflexão provocada pela força de Coriolis, quando ela atinge novamente o chão, tem sentido oposto e é quatro vezes maior do que o desvio produzido quando a partícula é largada em repouso da mesma altura máxima.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos duas coisas: (i) que a deflexão horizontal causada pela força de Coriolis, quando a partícula é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
) e volta ao solo, tem sentido oposto à deflexão obtida ao largar a mesma partícula em repouso a partir da mesma altura máxima; (ii) que a magnitude dessa deflexão no lançamento é quatro vezes maior do que a do caso em que a partícula é largada em repouso.
Informações dadas e condições que vamos usar:
Informações dadas e condições que vamos usar:
- Velocidade inicial do lançamento vertical: ).
- Aceleração da gravidade: ), vertical para baixo.
- Rotação da Terra: vetor de rotação ) com módulo ).
- Latitude local: ) (a deflexão depende de )).
- Vamos trabalhar em primeira ordem em ) (Coriolis é pequeno) e desprezar efeitos centrífugos e resistências.
- Precisamos calcular a deflexão horizontal (componente leste-oeste) quando a partícula atinge o solo nos dois casos e comparar sinais e magnitudes.
Passo 2
Conceito essencial: força de Coriolis. Em um referencial que gira com a Terra, a aceleração fictícia de Coriolis que atua sobre uma partícula com velocidade
) é
Explicação: o vetor
) representa a rotação do referencial (módulo
) e direção do eixo de rotação). O produto vetorial faz com que a força de Coriolis seja sempre perpendicular à velocidade instantânea da partícula e ao eixo de rotação. Para movimento essencialmente vertical, a força de Coriolis aparece como uma aceleração horizontal proporcional à velocidade vertical.
Passo 3
Escolha de sistema de eixos locais (convencional e conveniente):
- ) aponta para cima (vertical local).
- ) aponta para leste.
-
) aponta para norte.
Neste sistema, o vetor rotação da Terra se decompõe como
pois o eixo de rotação forma ângulo
) com a vertical local. Agora calculemos
):
Usando a regra da mão direita para os eixos escolhidos temos
). Portanto
Conclusão prática: para movimentos puramente verticais (velocidade na direção
)), a aceleração de Coriolis será horizontal na direção leste-oeste (
), com componente
onde
) é a componente vertical da velocidade (positiva para cima). Observação: isto explica por que só aparece deslocamento leste-oeste no primeiro ordem para movimento vertical.
Passo 4
Caso A — lançamento vertical a partir do solo.
Verticalmente, a equação do movimento (desprezando Coriolis na componente vertical, porque ele é pequeno e nãomuda fortemente a trajetória vertical) dá
Verticalmente, a equação do movimento (desprezando Coriolis na componente vertical, porque ele é pequeno e nãomuda fortemente a trajetória vertical) dá
Tempo total de voo até retornar ao solo:
A aceleração horizontal devido à Coriolis é, usando a fórmula do passo 3,
Integramos para achar a velocidade horizontal
. Tomando
(partícula lançada sem componente horizontal inicial),
Calculemos a integral passo a passo:
Logo
Agora integramos de novo para obter o deslocamento horizontal
, com
:
Calcule a integral:
Portanto
Passo 5
Avaliando em
(momento do impacto no solo) obtemos o deslocamento final no caso do lançamento:
Primeiro calcule os termos de potência:
Primeiro calcule os termos de potência:
Substituindo em
:
Simplificando os parênteses:
então o parêntese vale
Multiplicando pelo fator
obtemos
Interpretação: o sinal negativo (com nossa escolha
positivo para leste) indica que a deflexão é para o oeste.
Passo 6
Caso B — largar em repouso a partir da mesma altura máxima.
A mesma altura máxima (do caso A) é
A mesma altura máxima (do caso A) é
Se a partícula é largada em repouso a partir de
, o tempo de queda até o solo é
A velocidade vertical (tomando positiva para cima) durante a queda é
A aceleração de Coriolis horizontal é
Integramos para obter
com
:
Integramos de novo para
:
Em
temos o deslocamento final
Note o sinal positivo: com
positivo para leste, a deflexão neste caso é para o leste, isto é, sentido oposto ao do caso do lançamento.
Passo 7
Comparação final e conclusão matemática direta: das expressões obtidas
Portanto relacionam-se por
Isto significa que a deflexão no lançamento tem sentido oposto (sinal trocado) e magnitude quatro vezes maior (razão
) do que a deflexão quando a partícula é largada em repouso da mesma altura máxima.