Q5. Com relação à questão anterior, calcule a velocidade linear do ponto P em relação a A, no instante em que \psi=\pi e \dot{\psi}>0.
\mathrm{R}: \boldsymbol{v}_{A}^{P}=(R \Omega-r(\dot{\psi}+\Omega) \sin \theta) \boldsymbol{b}_{\mathbf{2}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a velocidade linear do ponto P em relação a A no instante em que \psi=\pi e \dot{\psi}>0.
Informações que o enunciado fornece (ou que foram dadas pela questão anterior e você transcreveu aqui):
\boldsymbol{v}_{A}^{P}=\bigl(R\Omega - r(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta\bigr)\,\boldsymbol{b}_{2}.
Variáveis e símbolos presentes (lista para não nos perdermos):
  • R e r: constantes geométricas (raios/comprimentos) do problema.
  • \Omega: velocidade angular de alguma parte do sistema (constante ou dada).
  • \psi: ângulo cujo instante é dado ( \psi=\pi).
  • \dot{\psi}: derivada temporal de \psi (velocidade angular), aqui sabemos que \dot{\psi}>0.
  • \theta: ângulo que aparece dentro do seno na expressão.
  • \boldsymbol{b}_{2}: vetor unitário direcional (eixo em que a velocidade está orientada).
O objetivo prático: avaliar numericamente/algebricamente a expressão acima no instante \psi=\pi, usando as relações angulares que vêm da questão anterior (veja passo seguinte).

Passo 2

Entendendo a expressão e as dependências angulares (aula rápida): a expressão
\boldsymbol{v}_{A}^{P}=\bigl(R\Omega - r(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta\bigr)\,\boldsymbol{b}_{2}
diz que a velocidade relativa de P em relação a A tem apenas componente ao longo de \boldsymbol{b}_{2}. O fator entre parênteses é a componente escalar dessa velocidade; é a diferença entre uma contribuição R\Omega (por exemplo, devido à rotação de um corpo de raio R) e uma contribuição r(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta (provavelmente devido ao movimento relativo envolvendo o ângulo \theta).
Explicando cada termo:
  • R\Omega: velocidade linear associada a uma rotação de raio R com velocidade angular \Omega. Lembre-se: para uma rotação rígida, velocidade linear v = \text{raio}\times\text{velocidade angular} = R\Omega.
  • r(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta: combinação que aparece quando uma ponta descreve um movimento circular inclinado/oblíquo; r é um comprimento, (\dot{\psi}+\Omega) é uma velocidade angular resultante, e \sin\theta projeta essa velocidade na direção de \boldsymbol{b}_{2}.
Importante: para avaliar a expressão em \psi=\pi precisamos relacionar \theta e \psi. Na maioria dos problemas do tipo “questão anterior” essa relação é \theta=\psi (ou seja, o ângulo que entra no seno acompanha \psi). Como o enunciado diz “com relação à questão anterior” e nos deu a fórmula com \sin\theta, vamos usar a relação natural assumida pela formulação anterior:
\theta=\psi.
(Se na questão anterior a relação fosse diferente, precisaríamos dela; mas aqui assumimos essa igualdade porque é a hipótese coerente com a expressão e o pedido.)

Passo 3

Aplicando a igualdade \theta=\psi e substituindo o instante pedido: como \psi=\pi, temos
\theta=\pi.
Agora calcule o seno:
\sin\theta=\sin\pi=0.
Lembre: \sin\pi=0 porque \pi radianos corresponde a 180^\circ, ponto onde a função seno vale zero.

Passo 4

Substitua \sin\theta=0 na expressão original da velocidade. A componente escalar entre parênteses fica:
R\Omega - r(\dot{\psi}+\Omega)\sin\theta = R\Omega - r(\dot{\psi}+\Omega)\cdot 0 = R\Omega.
Portanto a velocidade vetorial reduz-se a
\boldsymbol{v}_{A}^{P}=R\Omega\,\boldsymbol{b}_{2}.
Observações sobre o sinal e o papel de \dot{\psi}>0: aqui \dot{\psi} aparece na expressão original, mas como foi multiplicada por \sin\theta e \sin\theta=0, o valor de \dot{\psi} (mesmo sendo positivo) não influencia o resultado numérico neste instante. A direção da velocidade é a do vetor unitário \boldsymbol{b}_{2}; se você precisar do sentido (para cima/baixo etc.) é preciso lembrar como \boldsymbol{b}_{2} foi definido na figura da questão anterior.

Resposta

\boldsymbol{v}_{A}^{P}=R\Omega\,\boldsymbol{b}_{2}

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