4.12* Calcule o gradiente
das seguintes funçōes,
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o gradiente
.
Informações que temos (explicitadas):
-
é a distância do ponto à origem, isto é,
- O que se pede: encontrar
, isto é, o vetor das derivadas parciais
Passo 2
Lembrando a definição e a regra que vamos usar:
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais como escrito acima. - Usaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas: se
com , então
e análogas para
e
. Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Calcular
. Como
aplicando a regra da cadeia e a derivada de potência:
Usando a definição de
isso fica
Passo 4
Agora calcule
. Escrevendo
,
Pela regra da cadeia:
Fazendo a multiplicação das potências de
,
Passo 5
Calcule as outras derivadas parciais exatamente da mesma forma (simetria entre
):
Explicação curta: para cada variável a entrada correspondente aparece na derivada de
como
e
; a parte
é a mesma
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova: o gradiente aponta na direção de máximo crescimento de
. Como
decresce com a distância, o gradiente é oposto ao vetor posição
e tem módulo proporcional a
. Essa observação ajuda a lembrar o sinal e a potência correta na prova.