4.12* Calcule o gradiente \nabla f das seguintes funçōes, f(x, y, z) :
f=1 / r.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=1/r e pede para calcular o gradiente \nabla f.
Informações que temos (explicitadas):
  • r é a distância do ponto (x,y,z) à origem, isto é,
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O que se pede: encontrar \nabla f, isto é, o vetor das derivadas parciais
\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right).

Passo 2

Lembrando a definição e a regra que vamos usar:
  • O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais como escrito acima.
  • Usaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas: se f(r) com r=r(x,y,z), então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{df}{dr}\cdot\dfrac{\partial r}{\partial x},
e análogas para y e z. Vou aplicar isso com f(r)=r^{-1}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial r}{\partial x}. Como
r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
aplicando a regra da cadeia e a derivada de potência:
\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Usando a definição de r isso fica
\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}.

Passo 4

Agora calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}. Escrevendo f=r^{-1},
\dfrac{df}{dr}=-1\cdot r^{-2}=-r^{-2}.
Pela regra da cadeia:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{df}{dr}\cdot\dfrac{\partial r}{\partial x} = \big(-r^{-2}\big)\cdot\big(\dfrac{x}{r}\big).
Fazendo a multiplicação das potências de r,
\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{x}{r^{3}}.

Passo 5

Calcule as outras derivadas parciais exatamente da mesma forma (simetria entre x,y,z):
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{y}{r^{3}},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial z}=-\dfrac{z}{r^{3}}.
Explicação curta: para cada variável a entrada correspondente aparece na derivada de r como \dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{y}{r} e \dfrac{\partial r}{\partial z}=\dfrac{z}{r}; a parte \dfrac{df}{dr} é a mesma -r^{-2}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: o gradiente aponta na direção de máximo crescimento de f. Como f=1/r decresce com a distância, o gradiente é oposto ao vetor posição (x,y,z) e tem módulo proporcional a 1/r^{2}. Essa observação ajuda a lembrar o sinal e a potência correta na prova.

Resposta

\nabla f = -\dfrac{(x,y,z)}{r^{3}} = \left(-\dfrac{x}{r^{3}},-\dfrac{y}{r^{3}},-\dfrac{z}{r^{3}}\right).

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