4.13* Calcule o gradiente \nabla f das seguintes funções, f(x, y, z) : [Sugestão; use a regra da cadeia.]
f=g(r), onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e g(r) é uma função não especificada de r.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o gradiente \nabla f de uma função f(x,y,z) dada por
f = g(r),
onde
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
e g(r) é uma função qualquer (não especificada) de r.
Informações fornecidas relevantes:
  • f depende de x,y,z apenas através da combinação radial r.
  • A única coisa conhecida sobre g é que existe sua derivada g'(r) (a sugestão indica usar regra da cadeia).
    A pergunta é: escrever explicitamente \nabla f(x,y,z).

Passo 2

Lembrete didático sobre o que é o gradiente e a regra da cadeia:
  • Por definição, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Como f é função de r e r é função de x,y,z, cada derivada parcial obedece à regra da cadeia unidimensional:
\frac{\partial f}{\partial x} = g'(r)\,\frac{\partial r}{\partial x},
e análogamente para y e z. Aqui g'(r) significa a derivada de g em relação ao seu argumento r.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial r}{\partial x} passo a passo: escrevendo
r = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
aplica-se a regra da potência e a cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Ou seja,
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r},
desde que r>0.

Passo 4

Derivadas parciais análogas para as outras coordenadas: pelas mesmas contas,
\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r},
válidas para r>0.

Passo 5

Agora aplicar a regra da cadeia para cada componente do gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} = g'(r)\,\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = g'(r)\,\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = g'(r)\,\frac{z}{r}.
Portanto, escrevendo em forma vetorial,
\nabla f = g'(r)\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right) = g'(r)\,\frac{(x,y,z)}{r},
para r>0. Interpretação física/geométrica rápida: \dfrac{(x,y,z)}{r} é o vetor unitário radial (aponta para fora), e o gradiente tem direção radial com intensidade g'(r).

Passo 6

Observação sobre o caso r=0 (origem): a fórmula acima usa divisão por r, então não é diretamente válida em r=0. Algumas notas úteis para a prova:
  • Em geral o gradiente pode não existir na origem (ex.: g(r)=r f=r cuja derivada radial é unitária e não se comporta linearmente na origem).
  • Se g for diferenciável em 0 e g'(0)=0, então \nabla f(0)=(0,0,0) (explicação: se g'(0)=0 o termo linear em r some e a aproximação linear multivariada em 0 é nula).
  • Se g'(0)\neq0, normalmente \nabla f não existe em 0.

Passo 7

Dois exemplos para fixar a ideia:
  • Se g(r)=r^{2} então g'(r)=2r e, para r>0,
\nabla f = 2r\frac{(x,y,z)}{r}=2(x,y,z),
que é o resultado habitual para f=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Se g(r)=e^{r} então g'(r)=e^{r} e
\nabla f = e^{r}\frac{(x,y,z)}{r},\quad r>0.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=g'(r)\dfrac{(x,y,z)}{r},\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\\ \text{para }r>0.
(Em r=0 a expressão precisa ser tratada à parte; se g'(0)=0 então \nabla f(0)=(0,0,0), caso contrário o gradiente normalmente não existe.)

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