4.13* Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: [Sugestão; use a regra da cadeia.]
, onde
e
é uma função não especificada de
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o gradiente
de uma função
dada por
onde
e
é uma função qualquer (não especificada) de
.
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
-
depende de apenas através da combinação radial . - A única coisa conhecida sobre
é que existe sua derivada (a sugestão indica usar regra da cadeia).
A pergunta é: escrever explicitamente.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que é o gradiente e a regra da cadeia:
- Por definição, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- Como
é função de e é função de , cada derivada parcial obedece à regra da cadeia unidimensional:
e análogamente para
e
. Aqui
significa a derivada de
em relação ao seu argumento
.
Passo 3
Calcular
passo a passo: escrevendo
aplica-se a regra da potência e a cadeia:
Ou seja,
desde que
.
Passo 4
Derivadas parciais análogas para as outras coordenadas: pelas mesmas contas,
válidas para
.
Passo 5
Agora aplicar a regra da cadeia para cada componente do gradiente:
Portanto, escrevendo em forma vetorial,
para
. Interpretação física/geométrica rápida:
é o vetor unitário radial (aponta para fora), e o gradiente tem direção radial com intensidade
.
Passo 6
Observação sobre o caso
(origem): a fórmula acima usa divisão por
, então não é diretamente válida em
. Algumas notas úteis para a prova:
- Em geral o gradiente pode não existir na origem (ex.:
dá cuja derivada radial é unitária e não se comporta linearmente na origem). - Se
for diferenciável em e , então (explicação: se o termo linear em some e a aproximação linear multivariada em 0 é nula). - Se
, normalmente não existe em .
Passo 7
Dois exemplos para fixar a ideia:
- Se
então e, para ,
que é o resultado habitual para
.
- Se
então e
Resposta
(Em