12.1 • Calcule a razão da força de atração gravitacional do Sol sobre a Lua e a força da Terra sobre a Lua. (Suponha que a distância da Lua ao Sol seja aproximadamente a mesma da Terra ao Sol.) Use dados do Apêndice F. É mais preciso dizer que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou que a Lua está em órbita ao redor do Sol?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a razão entre a força gravitacional do Sol sobre a Lua e a força gravitacional da Terra sobre a Lua.
- Dizer se é mais preciso afirmar que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou ao redor do Sol.
Informações relevantes (valores numéricos usados na conta):
- Massa do Sol,
. - Massa da Terra,
. - Distância média Terra–Sol (1 UA),
. - Distância média Terra–Lua,
.
Vou usar valores usuais que estão no Apêndice F (os valores abaixo foram pegados no Apêndice F):
-
. -
. -
. -
.
Passo 2
Apresentação da lei que vamos usar (a “aula rápida”): a lei da gravitação universal de Newton diz que a força gravitacional entre duas massas
e
separadas por uma distância
é
onde:
-
é a força em newtons ( ), -
é a constante gravitacional ( ), -
e são as massas (em ), -
é a distância entre seus centros (em ).
Explicando de forma didática: a força cresce com as massas (mais massa = mais atração) e decai com o quadrado da distância (dobrar a distância reduz a força por 4). Aqui a massa da Lua aparece nas duas forças comparadas, então ela irá cancelar na razão — isso simplifica muito a conta.
Passo 3
Escrevo a força do Sol sobre a Lua e da Terra sobre a Lua:
A razão pedida é
Agora simplifico:
e
cancelam, ficando
Esse é o resultado algébrico que precisamos avaliar numericamente.
Passo 4
Vou substituir os valores numéricos que peguei do Apêndice F (novamente: estes valores foram extraídos do Apêndice F):
Calculo primeiro a razão de massas:
Calculo em seguida o quociente dos quadrados das distâncias:
Faço a divisão dentro do parêntese:
Agora o quadrado:
Passo 5
Multiplico a razão de massas pelo quociente dos quadrados das distâncias:
Faço a multiplicação:
Arredondando razoavelmente:
Interpretação numérica simples: a força do Sol sobre a Lua é cerca de
vezes a força da Terra sobre a Lua.
Passo 6
Agora a parte conceitual: qual afirmação é mais precisa — “Lua orbita a Terra” ou “Lua orbita o Sol”?
- Resultado crucial: a atração do Sol sobre a Lua é maior que a atração da Terra sobre a Lua (por um fator ≈
). Isso sugere que, se olharmos apenas para forças absolutas, o Sol “puxa” a Lua com mais força que a Terra. - Porém, o que determina se a Lua fica ligada à Terra é a diferença entre a força do Sol sobre a Lua e a força do Sol sobre a Terra (isto é, o efeito diferencial do Sol, o chamado efeito de maré). Tanto a Terra quanto a Lua estão aproximadamente à mesma distância do Sol, então a força do Sol sobre ambos é quase a mesma; essa diferença é pequena.
- Um cálculo rápido da força diferencial (maré) do Sol comparada à atração da Terra mostra que a força diferencial do Sol que tende a separar Lua e Terra é somente da ordem de
da atração da Terra sobre a Lua (cálculo esquemático: razão ≈ , ou seja ≈ ). Logo a Terra domina o movimento relativo Lua–Terra.
Conclusão qualitativa (explicada de forma amigável): apesar do Sol exercer uma força maior sobre a Lua do que a Terra exerce, a diferença de puxão do Sol entre Lua e Terra é pequena — por isso a Lua permanece ligada à Terra e descreve uma órbita ao redor da Terra enquanto o sistema Terra–Lua, junto, orbita o Sol. Dependendo do referencial, ambas as afirmações têm sentido:
- Em termos absolutos de força, é correto dizer que a Lua sente mais força do Sol.
- Em termos de movimento relativo (Lua girando em torno da Terra), é correto e prático dizer que a Lua orbita a Terra; também é fisicamente correto dizer que a Lua, em conjunto com a Terra, orbita o Sol.
Resposta
É mais preciso, em termos de força absoluta, dizer que a Lua recebe maior atração do Sol; porém, em termos do movimento relativo Lua–Terra (ou seja, para descrever a Lua como satélite da Terra), é correto e prático dizer que a Lua orbita a Terra — ambos os enunciados são verdadeiros em contextos diferentes.