12.1 • Calcule a razão da força de atração gravitacional do Sol sobre a Lua e a força da Terra sobre a Lua. (Suponha que a distância da Lua ao Sol seja aproximadamente a mesma da Terra ao Sol.) Use dados do Apêndice F. É mais preciso dizer que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou que a Lua está em órbita ao redor do Sol?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a razão entre a força gravitacional do Sol sobre a Lua e a força gravitacional da Terra sobre a Lua.
  • Dizer se é mais preciso afirmar que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou ao redor do Sol.
Informações relevantes (valores numéricos usados na conta):
  • Massa do Sol, M_{\odot}.
  • Massa da Terra, M_{\oplus}.
  • Distância média Terra–Sol (1 UA), R.
  • Distância média Terra–Lua, r.
Vou usar valores usuais que estão no Apêndice F (os valores abaixo foram pegados no Apêndice F):
  • M_{\odot}=1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
  • M_{\oplus}=5,972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • R=1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
  • r=3,84\times10^{8}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Apresentação da lei que vamos usar (a “aula rápida”): a lei da gravitação universal de Newton diz que a força gravitacional entre duas massas M e m separadas por uma distância d é
F = G\,\frac{M\,m}{d^{2}},
onde:
  • F é a força em newtons ( \mathrm{N}),
  • G é a constante gravitacional ( G\approx 6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}),
  • M e m são as massas (em \mathrm{kg}),
  • d é a distância entre seus centros (em \mathrm{m}).
Explicando de forma didática: a força cresce com as massas (mais massa = mais atração) e decai com o quadrado da distância (dobrar a distância reduz a força por 4). Aqui a massa da Lua aparece nas duas forças comparadas, então ela irá cancelar na razão — isso simplifica muito a conta.

Passo 3

Escrevo a força do Sol sobre a Lua e da Terra sobre a Lua:
F_{\text{Sol sobre Lua}} = G\,\frac{M_{\odot}\,m_{\text{Lua}}}{R^{2}}, \qquad F_{\text{Terra sobre Lua}} = G\,\frac{M_{\oplus}\,m_{\text{Lua}}}{r^{2}}.
A razão pedida é
\frac{F_{\text{Sol sobre Lua}}}{F_{\text{Terra sobre Lua}}} = \frac{G\,\dfrac{M_{\odot}\,m_{\text{Lua}}}{R^{2}}}{G\,\dfrac{M_{\oplus}\,m_{\text{Lua}}}{r^{2}}}.
Agora simplifico: G e m_{\text{Lua}} cancelam, ficando
\frac{F_{\text{Sol sobre Lua}}}{F_{\text{Terra sobre Lua}}} = \frac{M_{\odot}}{M_{\oplus}}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Esse é o resultado algébrico que precisamos avaliar numericamente.

Passo 4

Vou substituir os valores numéricos que peguei do Apêndice F (novamente: estes valores foram extraídos do Apêndice F):
M_{\odot}=1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg}, \quad M_{\oplus}=5,972\times10^{24}\\ \mathrm{kg},
R=1,496\times10^{11}\\ \mathrm{m}, \quad r=3,84\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
Calculo primeiro a razão de massas:
\frac{M_{\odot}}{M_{\oplus}} = \frac{1,989\times10^{30}}{5,972\times10^{24}} \approx 3,3307\times10^{5}.
Calculo em seguida o quociente dos quadrados das distâncias:
\frac{r^{2}}{R^{2}} = \left(\frac{r}{R}\right)^{2} = \left(\frac{3,84\times10^{8}}{1,496\times10^{11}}\right)^{2}.
Faço a divisão dentro do parêntese:
\frac{r}{R}=\frac{3,84\times10^{8}}{1,496\times10^{11}} \approx 2,568\times10^{-3}.
Agora o quadrado:
\left(2,568\times10^{-3}\right)^{2} \approx 6,595\times10^{-6}.

Passo 5

Multiplico a razão de massas pelo quociente dos quadrados das distâncias:
\frac{F_{\text{Sol sobre Lua}}}{F_{\text{Terra sobre Lua}}} \approx \left(3,3307\times10^{5}\right)\times\left(6,595\times10^{-6}\right).
Faço a multiplicação:
3,3307\times10^{5}\times6,595\times10^{-6} = (3,3307\times6,595)\times10^{-1} \approx 21,94\times10^{-1} \approx 2,194.
Arredondando razoavelmente:
\frac{F_{\text{Sol sobre Lua}}}{F_{\text{Terra sobre Lua}}}\approx 2,2.
Interpretação numérica simples: a força do Sol sobre a Lua é cerca de 2{,}2 vezes a força da Terra sobre a Lua.

Passo 6

Agora a parte conceitual: qual afirmação é mais precisa — “Lua orbita a Terra” ou “Lua orbita o Sol”?
  • Resultado crucial: a atração do Sol sobre a Lua é maior que a atração da Terra sobre a Lua (por um fator ≈ 2{,}2). Isso sugere que, se olharmos apenas para forças absolutas, o Sol “puxa” a Lua com mais força que a Terra.
  • Porém, o que determina se a Lua fica ligada à Terra é a diferença entre a força do Sol sobre a Lua e a força do Sol sobre a Terra (isto é, o efeito diferencial do Sol, o chamado efeito de maré). Tanto a Terra quanto a Lua estão aproximadamente à mesma distância do Sol, então a força do Sol sobre ambos é quase a mesma; essa diferença é pequena.
  • Um cálculo rápido da força diferencial (maré) do Sol comparada à atração da Terra mostra que a força diferencial do Sol que tende a separar Lua e Terra é somente da ordem de 1\% da atração da Terra sobre a Lua (cálculo esquemático: razão ≈ 2\,(M_{\odot}/M_{\oplus})\,(r/R)^{3}\approx0{,}011, ou seja ≈ 1{,}1\%). Logo a Terra domina o movimento relativo Lua–Terra.
Conclusão qualitativa (explicada de forma amigável): apesar do Sol exercer uma força maior sobre a Lua do que a Terra exerce, a diferença de puxão do Sol entre Lua e Terra é pequena — por isso a Lua permanece ligada à Terra e descreve uma órbita ao redor da Terra enquanto o sistema Terra–Lua, junto, orbita o Sol. Dependendo do referencial, ambas as afirmações têm sentido:
  • Em termos absolutos de força, é correto dizer que a Lua sente mais força do Sol.
  • Em termos de movimento relativo (Lua girando em torno da Terra), é correto e prático dizer que a Lua orbita a Terra; também é fisicamente correto dizer que a Lua, em conjunto com a Terra, orbita o Sol.

Resposta

\dfrac{F_{\text{Sol sobre Lua}}}{F_{\text{Terra sobre Lua}}}\approx 2{,}2
É mais preciso, em termos de força absoluta, dizer que a Lua recebe maior atração do Sol; porém, em termos do movimento relativo Lua–Terra (ou seja, para descrever a Lua como satélite da Terra), é correto e prático dizer que a Lua orbita a Terra — ambos os enunciados são verdadeiros em contextos diferentes.

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