Exercício 03
Considere uma onda descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(b) Obtenha o módulo da aceleração a_{v} associada.
Passo 1
O enunciado nos dá a onda
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
O que se pede (parte (b)) é: obter o módulo da aceleração associada à partícula do meio.
Informações relevantes fornecidas:
A é a amplitude (máxima elongação) da onda;
k é o número de onda;
\omega é a frequência angular;
x e t são as coordenadas de posição e tempo;
A aceleração associada a uma partícula do meio é a segunda derivada temporal da sua elongação, tomando x fixo.
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): a cada posição fixa x a partícula do meio descreve um movimento em função do tempo dado por \,y(t)=y(x,t)\,. A velocidade dessa partícula é a derivada temporal parcial de y mantendo x fixo:
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{x}.
A aceleração da partícula é a derivada temporal da velocidade, ou seja a segunda derivada temporal de y:
Agora derivamos novamente em relação a t (segunda derivada). Novamente usamos a regra da cadeia sobre a função \cos(kx-\omega t). Sabendo que \dfrac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\,u' e que u'=-\omega, temos