Exercício 03
Considere uma onda descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(b) Obtenha o módulo da aceleração a_{v} associada.

Passo 1

O enunciado nos dá a onda
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
O que se pede (parte (b)) é: obter o módulo da aceleração associada à partícula do meio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é a amplitude (máxima elongação) da onda;
  • k é o número de onda;
  • \omega é a frequência angular;
  • x e t são as coordenadas de posição e tempo;
  • A aceleração associada a uma partícula do meio é a segunda derivada temporal da sua elongação, tomando x fixo.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): a cada posição fixa x a partícula do meio descreve um movimento em função do tempo dado por \,y(t)=y(x,t)\,. A velocidade dessa partícula é a derivada temporal parcial de y mantendo x fixo:
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{x}.
A aceleração da partícula é a derivada temporal da velocidade, ou seja a segunda derivada temporal de y:
a_v(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\Big|_{x}.
Aqui a notação quer dizer: derivar em relação a t tratando x como constante.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para a primeira derivada temporal. Partimos de
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr).
Derivando em t com x fixo, o argumento u=kx-\omega t tem derivada \dfrac{du}{dt}=-\omega. Então
\frac{\partial y}{\partial t} = A\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(kx-\omega t\bigr) = A\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\cdot(-\omega).
Portanto
\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).

Passo 4

Agora derivamos novamente em relação a t (segunda derivada). Novamente usamos a regra da cadeia sobre a função \cos(kx-\omega t). Sabendo que \dfrac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\,u' e que u'=-\omega, temos
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega\cdot\frac{d}{dt}\Bigl[\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\Bigr] = -A\omega\cdot\bigl(-\sin(kx-\omega t)\bigr)\cdot(-\omega).
Calculemos com calma os sinais: \frac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)u'=-\sin(u)(- \omega)=\omega\sin(u). Multiplicando por -A\omega resulta em
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\omega^2\sin\bigl(kx-\omega t\bigr).
Portanto a aceleração (instântanea, algébrica) é
a_v(x,t)=-A\omega^2\sin\bigl(kx-\omega t\bigr).

Passo 5

O enunciado pede o módulo da aceleração. Tomando o valor absoluto de a_v obtemos
|a_v(x,t)| = \bigl|-A\omega^2\sin(kx-\omega t)\bigr| = A\omega^2\bigl|\sin(kx-\omega t)\bigr|.
Uma observação útil para a prova: a aceleração é proporcional à elongação com fator -\omega^2, pois
a_v(x,t)=-\omega^2 y(x,t).
Dessa igualdade segue que a amplitude máxima (módulo máximo) da aceleração é
a_{\max}=A\omega^2,
pois |\sin(\cdot)|\le 1.

Passo 6

Resumo conceitual (para decorar/usar na prova): para uma onda harmônica y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
  • a aceleração instantânea é \,a_v(x,t)=-A\omega^2\sin(kx-\omega t)\,;
  • o módulo instantâneo é \,|a_v(x,t)|=A\omega^2|\sin(kx-\omega t)|\,;
  • o módulo máximo é \,a_{\max}=A\omega^2.

Resposta

|a_v(x,t)|=A\omega^2\bigl|\sin(kx-\omega t)\bigr|
a_{\max}=A\omega^2

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